Dada: f(x, y)=5 x y^2-3 x^2 y^3, Obtenha:
O plano tangente no ponto ( 1 ;-12 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 5xy^{2} - 3x{2}y{3} $, e o objetivo é encontrar o plano tangente a essa função no ponto $ (1, -\frac{1}{2}) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente em um ponto (a, b) da função $ f(x, y) $ pode ser encontrado usando a fórmula:
f(x, y)
Aqui, $ f_{x} $ e $ f_{y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. Então, nosso primeiro passo é encontrar essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
x

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto dado $ (1, -\frac{1}{2}) $.
Primeiro, $ f(1, -\frac{1}{2}) $:
(1, -12)
Agora, $ f_{x}(1, -\frac{1}{2}) $:
f(1, -12)
E $ f_{y}(1, -\frac{1}{2}) $:
f(1, -12) = 5(1)(-12)^2 - 3(1)^2(-12)^3 = 5 times 14 - 3 times (-18) = 54 + 38 = 138

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente com os valores que encontramos:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo $ a = 1 $, $ b = -\frac{1}{2} $, $ f(a, b) = \frac{13}{8} $, $ f_{x}(a, b) = 2 $ e $ f_{y}(a, b) = -\frac{29}{4} $:
a = 1
Vamos simplificar essa expressão:
b = -12
Combinando os termos constantes:
f(a, b) = 138

Resposta

O plano tangente à função $ f(x, y) $ no ponto $ \left(1, -\frac{1}{2}\right) $ é dado por:
f(x, y)

Exercícios relacionados