Dada:
, Obtenha:
plano tangente no ponto (
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 5xy^{2} - 3x{2}y{3} $, e o objetivo é encontrar o plano tangente a essa função no ponto $ (1, -\frac{1}{2}) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente em um ponto
da função $ f(x, y) $ pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, $ f_{x} $ e $ f_{y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. Então, nosso primeiro passo é encontrar essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto dado $ (1, -\frac{1}{2}) $.
Primeiro, $ f(1, -\frac{1}{2}) $:
Agora, $ f_{x}(1, -\frac{1}{2}) $:
E $ f_{y}(1, -\frac{1}{2}) $:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente com os valores que encontramos:
Substituindo $ a = 1 $, $ b = -\frac{1}{2} $, $ f(a, b) = \frac{13}{8} $, $ f_{x}(a, b) = 2 $ e $ f_{y}(a, b) = -\frac{29}{4} $:
Vamos simplificar essa expressão:
Combinando os termos constantes:
Resposta
O plano tangente à função $ f(x, y) $ no ponto $ \left(1, -\frac{1}{2}\right) $ é dado por: