Para cada equação, identifique:
  • Tipo da cônica (elipse, hipérbole ou circunferência).
  • Eixos, vértices, focos e excentricidade
    \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado pede, para a equação
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1,
identificar o tipo de cônica, seus eixos, vértices, focos e excentricidade. Vamos reconhecer primeiro a forma padrão e extrair os parâmetros que precisamos.

Passo 2

Observando
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1,
vemos que está na forma padrão de uma hipérbole centrada em (0,0) com eixo transverso horizontal. Aqui
\displaystyle a^{2}=16 e \displaystyle b^{2}=4,
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\displaystyle a = 4 e \displaystyle b = 2.

Passo 3

Como o sinal positivo está sobre \displaystyle x^{2}, o eixo transverso é o eixo x (horizontal) e o eixo conjugado é o eixo y (vertical).

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância \displaystyle a do centro ao longo do eixo transverso. Portanto, os vértices são
( \pm a,\,0 ) = (\pm 4,\,0).

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos \displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}:
c^{2}=16+4=20,\quad c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Como o eixo transverso é horizontal, os focos são
(\pm c,\,0) = \bigl(\pm 2\sqrt{5},\,0\bigr).
A excentricidade de uma hipérbole é \displaystyle e = \frac{c}{a}, então
e = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}.

Resposta

Tipo: hipérbole.
Eixos: eixo transverso no eixo x (horizontal) e eixo conjugado no eixo y (vertical).
Vértices: (4,0) e (-4,0).
Focos: \bigl(2\sqrt{5},0\bigr) e \bigl(-2\sqrt{5},0\bigr).
Excentricidade: \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}.

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