Para cada matriz abaixo:
  • Determine os autovalores.
  • Encontre um autovetor para cada autovalor.
    C=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e autovetores da matriz
C = \begin{pmatrix} 4 & 1\\\\ 2 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos usar o polinômio característico \det(C-\lambda I)=0 e depois, para cada autovalor \lambda, resolver (C-\lambda I)v=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det(C - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1\\\\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 -7\lambda +10.

Passo 3

Igualando a zero e resolvendo
\lambda^2 -7\lambda +10 =0
pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 -40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2},
logo os autovalores são \lambda_1=5 e \lambda_2=2.

Passo 4

Para \lambda_1=5, formamos
C - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix},
e resolvemos (C-5I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0, que dá
-\,x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Escolhendo x=1, um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=2, formamos
C - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix},
e resolvemos (C-2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0, que dá
2\,x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -2x.
Escolhendo x=1, um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2\end{pmatrix}.

Resposta

\lambda_1 = 5, autovetor v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix}
\lambda_2 = 2, autovetor v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2\end{pmatrix}

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