Para cada matriz abaixo:
  • Determine os autovalores.
  • Encontre um autovetor para cada autovalor.
    B=\left[\begin{array}{cc}4 & -2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e, para cada autovalor, um autovetor da matriz
B = \begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é autovalor e autovetor: primeiro achamos o polinômio característico via \det(B-\lambda I)=0, depois seguimos resolvendo (B-\lambda I)v=0 para cada \lambda.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det(B-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}4-\lambda & -2\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\cdot1
=(4-\lambda)(1-\lambda)+2 =4-4\lambda-\lambda+\lambda^2+2 =\lambda^2-5\lambda+6.
Resolvendo \lambda^2-5\lambda+6=0 obtemos
\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} =\frac{5\pm1}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda_1=2,\;\lambda_2=3.]

Passo 3

Para \lambda_1=2 resolvemos (B-2I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}4-2 & -2\\[4pt]1 & 1-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 2x-2y=0, ou seja x=y. Um autovetor associado é
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda_2=3 resolvemos (B-3I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}4-3 & -2\\[4pt]1 & 1-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem x-2y=0, ou seja x=2y. Um autovetor associado é
v_2=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=3.
Um autovetor para \lambda_1=2 é \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e um autovetor para \lambda_2=3 é \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados