Para cada equação da parábola abaixo obtenha as coordenadas do vértice, o parâmetro
, a concavidade, a distância do foco à diretriz, a distância do vértice ao foco, a equação da diretriz, as coordenadas do foco, e o gráfico.
a)
,
a)
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação de uma parábola aqui:
. Nosso objetivo é descobrir várias coisas sobre essa parábola, como o vértice, o parâmetro
, para onde a parábola está “virada” (a concavidade), a distância entre o foco e a diretriz, entre outros detalhes. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da parábola e alguns conceitos básicos de geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo. Ela é dada por:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é um parâmetro que indica a distância do vértice até o foco e da diretriz até o vértice. Se
for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa equação
com a forma padrão
. Isso nos ajuda a identificar os valores de
,
e
.
-
Vértice
: Aqui, e . Então, o vértice da parábola é . -
Parâmetro
: Na nossa equação, . Resolvendo para , temos:
Passo 4
Sabendo que
, podemos determinar a concavidade da parábola. Como
é negativo, isso significa que a parábola está aberta para baixo.
Passo 5
A distância do vértice ao foco é igual a
. Então, nesse caso:
Isso indica que o foco está 4 unidades abaixo do vértice.
Passo 6
Para encontrar a coordenada do foco, partimos do vértice
e movemos 4 unidades na direção da concavidade (para baixo):
Passo 7
A diretriz é uma reta que está do lado oposto da concavidade em relação ao vértice, à mesma distância
. Como
, a diretriz estará 4 unidades acima do vértice.
Passo 8
Resumindo todas as informações que encontramos:
- Vértice:
- Parâmetro
: - Concavidade: para baixo
- Distância do foco à diretriz:
unidades (já que é a soma das distâncias do vértice ao foco e do vértice à diretriz) - Distância do vértice ao foco:
unidades - Equação da diretriz:
- Coordenadas do foco:
Resposta
As características da parábola
são:
- Vértice:
- Parâmetro
: - Concavidade: para baixo
- Distância do foco à diretriz:
unidades - Distância do vértice ao foco:
unidades - Equação da diretriz:
- Coordenadas do foco:
O gráfico dessa parábola seria uma curva aberta para baixo, com o vértice no ponto
, o foco em
e a diretriz sendo a reta horizontal
.