Para cada equação da parábola abaixo obtenha as coordenadas do vértice, o parâmetro p, a concavidade, a distância do foco à diretriz, a distância do vértice ao foco, a equação da diretriz, as coordenadas do foco, e o gráfico.
a) (x-2)² = -16(y-3),

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação de uma parábola aqui: . Nosso objetivo é descobrir várias coisas sobre essa parábola, como o vértice, o parâmetro , para onde a parábola está “virada” (a concavidade), a distância entre o foco e a diretriz, entre outros detalhes. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da parábola e alguns conceitos básicos de geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo. Ela é dada por:
Aqui, é o vértice da parábola e é um parâmetro que indica a distância do vértice até o foco e da diretriz até o vértice. Se for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa equação com a forma padrão . Isso nos ajuda a identificar os valores de , e .
  • Vértice : Aqui, e . Então, o vértice da parábola é .
  • Parâmetro : Na nossa equação, . Resolvendo para , temos:

Passo 4

Sabendo que , podemos determinar a concavidade da parábola. Como é negativo, isso significa que a parábola está aberta para baixo.

Passo 5

A distância do vértice ao foco é igual a . Então, nesse caso:
â
Isso indica que o foco está 4 unidades abaixo do vértice.

Passo 6

Para encontrar a coordenada do foco, partimos do vértice e movemos 4 unidades na direção da concavidade (para baixo):

Passo 7

A diretriz é uma reta que está do lado oposto da concavidade em relação ao vértice, à mesma distância . Como , a diretriz estará 4 unidades acima do vértice.
çã

Passo 8

Resumindo todas as informações que encontramos:
  • Vértice:
  • Parâmetro :
  • Concavidade: para baixo
  • Distância do foco à diretriz: unidades (já que é a soma das distâncias do vértice ao foco e do vértice à diretriz)
  • Distância do vértice ao foco: unidades
  • Equação da diretriz:
  • Coordenadas do foco:

Resposta

As características da parábola são:
  • Vértice:
  • Parâmetro :
  • Concavidade: para baixo
  • Distância do foco à diretriz: unidades
  • Distância do vértice ao foco: unidades
  • Equação da diretriz:
  • Coordenadas do foco:
O gráfico dessa parábola seria uma curva aberta para baixo, com o vértice no ponto , o foco em e a diretriz sendo a reta horizontal .

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