Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função g(x) = raiz(3 + x) + raiz(7 - x)^(1/4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o conjunto domínio e o conjunto imagem da função . Isso envolve entender um pouco sobre funções e sobre como as raízes funcionam. Vamos precisar saber como encontrar os valores de que tornam a função válida (domínio) e quais são os possíveis resultados que a função pode dar (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida, ou seja, onde a expressão faz sentido matematicamente.
A função tem duas partes:
  1. : A raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
  2. : A raiz quarta também está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Portanto:
Agora, juntando essas duas condições, o domínio da função é o conjunto de todos os que satisfazem:

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir quando varia dentro do domínio que encontramos.
Vamos analisar os extremos do domínio:
  1. Quando :
  2. Quando :
Além desses pontos, como as duas funções (raiz quadrada e raiz quarta) são crescentes, e a soma delas também será uma função crescente no intervalo considerado, os valores de irão variar de aproximadamente 1,78 até 3,16.
Portanto, o conjunto imagem de é:
Ou, aproximando:

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os tais que e o conjunto imagem é , ou aproximadamente .

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