Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o conjunto domínio e o conjunto imagem da função
. Isso envolve entender um pouco sobre funções e sobre como as raízes funcionam. Vamos precisar saber como encontrar os valores de
que tornam a função válida (domínio) e quais são os possíveis resultados que a função pode dar (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde a expressão faz sentido matematicamente.
A função
tem duas partes:
-
: A raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que: -
: A raiz quarta também está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Portanto:
Agora, juntando essas duas condições, o domínio da função
é o conjunto de todos os
que satisfazem:
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir quando
varia dentro do domínio que encontramos.
Vamos analisar os extremos do domínio:
-
Quando
: -
Quando
:
Além desses pontos, como as duas funções (raiz quadrada e raiz quarta) são crescentes, e a soma delas também será uma função crescente no intervalo considerado, os valores de
irão variar de aproximadamente 1,78 até 3,16.
Portanto, o conjunto imagem de
é:
Ou, aproximando:
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os
tais que
e o conjunto imagem é
, ou aproximadamente
.