Calcule a derivada direcional de f no ponto especificado e na direção indicada.
a) f(x, y) = x^2 - 3y^2, (x0, y0) = (1, 2), v é o versor de 3i + j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto e na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica. Vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (versor), ou seja, com magnitude igual a 1. A fórmula para normalizar um vetor é:
Onde é a norma do vetor, calculada por:
Calculando a norma de :
Portanto, o versor é:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto e pelo vetor unitário na direção desejada:
Fazendo o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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