Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
a)
é o versor de
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica. Vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado
:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (versor), ou seja, com magnitude igual a 1. A fórmula para normalizar um vetor
é:
Onde
é a norma do vetor, calculada por:
Calculando a norma de
:
Portanto, o versor
é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional
é dada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto e pelo vetor unitário na direção desejada:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.