Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
x d x(x^2+v^2)^3 / 2+y d y(x^2+y^2)^3 / 2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,dxl(x^2+y^2r)^3/2 ;+;y,dyl(x^2+y^2r)^3/2=0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. Vamos usar o teste de exatidão e, depois, buscar uma função potencial Psi(x,y) tal que dPsi=0 reproduza a equação dada.

Passo 2

Escrevemos no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=xl(x^2+y^2r)^3/2, N(x,y)=yl(x^2+y^2r)^3/2
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =-3x,yl(x^2+y^2r)^5/2, partial Npartial x =-3x,yl(x^2+y^2r)^5/2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y)
Fazendo a integral em x:
Psi(x,y) =integral xl(x^2+y^2r)^3/2,dx =-1raizx^2+y^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo
partial Psipartial y =N(x,y),
temos
partial partial y l(-1raizx^2+y^2+h(y)r) =yl(x^2+y^2r)^3/2+h'(y) stackrel!= yl(x^2+y^2r)^3/2
Logo h'(y)=0, de onde h(y)= constante.

Passo 5

A solução implícita geral é
Psi(x,y)= -1raizx^2+y^2+C=0 Longrightarrow 1raizx^2+y^2=K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e a solução geral é
-1raizx^2+y^2=C Long<=ftrightarrow 1raizx^2+y^2=K

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