Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
((e^{x} \operatorname{sen} y+3 y) d x-(3 x-e^{x} \operatorname{sen} y) d y=0)

Passo 1

Vamos escrever a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y) = e^xsin y + 3y, N(x,y) = -l(3x - e^xsin yr) = -3x + e^xsin y
O critério de exatidão diz que a equação é exata se
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(e^xsin y + 3yr) = e^xcos y + 3,
partial Npartial x = partialpartial xl(-3x + e^xsin yr) = -3 + e^xsin y

Passo 3

Comparemos:
partial Mpartial y = e^xcos y + 3, partial Npartial x = e^xsin y - 3
Como e^xcos y + 3 neq e^xsin y - 3 em geral, a equação não é exata.

Resposta

A equação (e^xsin y+3y),dx - (3x - e^xsin y),dy = 0 não é exata e, portanto, não admite solução pelo método direto de equações exatas sem antes encontrar um fator integrante.

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