Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
((y e^{x y} \cos 2 x-2 e^{x y} \operatorname{sen} 2 x+2 x) d x+(x e^{x y} \cos 2 x-3) d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(y,e^xycos2x - 2,e^xysin2x + 2xr),dx ;+;l(x,e^xycos2x - 3r),dy ;=;0,
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas, em que procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y), partial Fpartial y=N(x,y),
com M(x,y)=y,e^xycos2x -2,e^xysin2x +2x e N(x,y)=x,e^xycos2x -3.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão, isto é, se
partial Mpartial y ;=; partial Npartial x
Calculamos
partial Mpartial y =;e^xycos2x + x,y,e^xycos2x ;-;2x,e^xysin2x,
partial Npartial x =;e^xycos2x + xl(y,e^xycos2x -2,e^xysin2xr) =;e^xycos2x + x,y,e^xycos2x -2x,e^xysin2x
Logo partial M/partial y=partial N/partial x, então a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe F(x,y) tal que Fx=M. Integramos M em relação a x:
F(x,y) =integrall(y,e^xycos2x -2,e^xysin2x +2xr),dx + h(y)
Para isso usamos as fórmulas
integral e^xycos2x,dx =e^xyl(ycos2x+2sin2xr)y^2+4, integral e^xysin2x,dx =e^xyl(ysin2x-2cos2xr)y^2+4
Depois de operar (somando os termos e simplificando), obtemos
F(x,y) = e^xycos2x + x^2 + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), usamos Fy=N:
Fy =partialpartial yl(e^xycos2x + x^2 + h(y)r) =x,e^xycos2x + h'(y) stackrel!=x,e^xycos2x -3
Isso dá h'(y)=-3, logo h(y)=-3y (constante absorvida em C).

Resposta

A solução implícita geral vem de
F(x,y)=e^xycos2x + x^2 -3y = C,
onde C é constante.

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