Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
((y e^{x y} \cos 2 x-2 e^{x y} \operatorname{sen} 2 x+2 x) d x+(x e^{x y} \cos 2 x-3) d y=0)
((y e^{x y} \cos 2 x-2 e^{x y} \operatorname{sen} 2 x+2 x) d x+(x e^{x y} \cos 2 x-3) d y=0)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas, em que procuramos uma função potencial
tal que
com
e
.
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão, isto é, se
Calculamos
Logo
, então a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
. Integramos
em relação a
:
Para isso usamos as fórmulas
Depois de operar (somando os termos e simplificando), obtemos
Passo 4
Para determinar
, usamos
:
Isso dá
, logo
(constante absorvida em
).
Resposta
A solução implícita geral vem de
onde
é constante.