Diga se converge, absolutamente, condicionalmente ou diverge a siric
sumn=2^infty(-1)^n tg(1raiz[3]n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série sumn=2^infty (-1)^n tan(1raiz[3]n) converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e os testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste da Alternância. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série ser alternada. Uma série alternada é aquela em que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo ou vice-versa. No nosso caso, temos (-1)^n, que faz os termos alternarem de sinal conforme n varia.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da série: tan(1raiz[3]n). Para facilitar, vamos chamar isso de an = tan(1raiz[3]n). Queremos ver como an se comporta quando n cresce.

Passo 4

Vamos simplificar 1raiz[3]n. Isso é igual a n^-1/3. Sabemos que, quando n cresce, n^-1/3 tende a zero. Então, estamos olhando para tan de um valor que está se aproximando de zero.

Passo 5

Lembrando que tan(x) approx x quando x é próximo de zero. Então, para valores grandes de n, podemos aproximar:
an approx 1raiz[3]n
Isso simplifica nossa análise!

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série sum an = sum 1raiz[3]n converge ou diverge. Sabemos que a série sum 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Aqui, p = 13, que é menor que 1. Portanto, a série sum 1raiz[3]n diverge.

Passo 7

Como a série dos termos positivos sum |an| diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda resta a possibilidade de convergência condicional.

Passo 8

Para verificar a convergência condicional, usamos o Teste da Alternância de Sinais, também conhecido como Teste de Leibniz. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n bn converge se:
  1. bn é decrescente: bn+1 <= bn para todo n grande.
  2. limn to infty bn = 0.
No nosso caso, bn = tan(1raiz[3]n), que, como vimos, é aproximadamente 1raiz[3]n.

Passo 9

Primeiro, vamos ver se bn é decrescente. Calculando bn+1 e comparando com bn:
bn+1 = tan(1raiz[3]n+1) < tan(1raiz[3]n) = bn
Pois n+1 > n implica 1raiz[3]n+1 < 1raiz[3]n, e tan(x) é uma função crescente para x > 0.

Passo 10

Segundo, limn to infty bn = limn to infty tan(1raiz[3]n) = tan(0) = 0.

Passo 11

Como ambos os critérios do Teste de Leibniz são atendidos, concluímos que a série converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=2^infty (-1)^n tan(1raiz[3]n) converge condicionalmente.

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