Diga se converge, absolutamente, condicionalmente ou diverge a siric
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e os testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste da Alternância. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série ser alternada. Uma série alternada é aquela em que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo ou vice-versa. No nosso caso, temos
, que faz os termos alternarem de sinal conforme
varia.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da série:
. Para facilitar, vamos chamar isso de
. Queremos ver como
se comporta quando
cresce.
Passo 4
Vamos simplificar
. Isso é igual a
. Sabemos que, quando
cresce,
tende a zero. Então, estamos olhando para
de um valor que está se aproximando de zero.
Passo 5
Lembrando que
quando
é próximo de zero. Então, para valores grandes de
, podemos aproximar:
Isso simplifica nossa análise!
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série
converge ou diverge. Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. Aqui,
, que é menor que 1. Portanto, a série
diverge.
Passo 7
Como a série dos termos positivos
diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda resta a possibilidade de convergência condicional.
Passo 8
Para verificar a convergência condicional, usamos o Teste da Alternância de Sinais, também conhecido como Teste de Leibniz. Esse teste diz que uma série alternada
converge se:
-
é decrescente: para todo grande. -
.
No nosso caso,
, que, como vimos, é aproximadamente
.
Passo 9
Primeiro, vamos ver se
é decrescente. Calculando
e comparando com
:
Pois
implica
, e
é uma função crescente para
.
Passo 10
Segundo,
.
Passo 11
Como ambos os critérios do Teste de Leibniz são atendidos, concluímos que a série converge condicionalmente.
Resposta
A série
converge condicionalmente.