Calcule o valor da soma
sumn=1^infty n e^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a soma infinita sumn=1^infty n e^-n. O conteúdo envolve séries infinitas e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que envolvem uma sequência crescente multiplicada por uma função exponencial decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série infinita é a soma de termos que continuam indefinidamente. No nosso caso, temos a série sumn=1^infty n e^-n, onde cada termo é n multiplicado por e^-n.

Passo 3

Para resolver essa soma, vamos usar uma fórmula conhecida de séries infinitas que envolve uma variável r. A fórmula é:
sumn=1^infty n r^n = r(1 - r)^2
Essa fórmula é válida para valores de r tais que |r| < 1. No nosso caso, r = e^-1, que é aproximadamente 0,3679, satisfazendo a condição da fórmula.

Passo 4

Substituindo r por e^-1 na fórmula, temos:
sumn=1^infty n e^-n = e^-1(1 - e^-1)^2
Isso simplifica a nossa soma infinita para uma expressão mais fácil de calcular.

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão obtida:
e^-1(1 - e^-1)^2 = 1e(1 - 1e)^2
Multiplicando numerador e denominador por e^2 para eliminar as frações, temos:
e(e - 1)^2

Passo 6

Portanto, o valor da soma infinita sumn=1^infty n e^-n é igual a:
e(e - 1)^2

Resposta

O valor da soma é e(e - 1)^2.

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