Calcule o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a soma infinita
. O conteúdo envolve séries infinitas e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que envolvem uma sequência crescente multiplicada por uma função exponencial decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série infinita é a soma de termos que continuam indefinidamente. No nosso caso, temos a série
, onde cada termo é
multiplicado por
.
Passo 3
Para resolver essa soma, vamos usar uma fórmula conhecida de séries infinitas que envolve uma variável
. A fórmula é:
Essa fórmula é válida para valores de
tais que
. No nosso caso,
, que é aproximadamente 0,3679, satisfazendo a condição da fórmula.
Passo 4
Substituindo
por
na fórmula, temos:
Isso simplifica a nossa soma infinita para uma expressão mais fácil de calcular.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão obtida:
Multiplicando numerador e denominador por
para eliminar as frações, temos:
Passo 6
Portanto, o valor da soma infinita
é igual a:
Resposta
O valor da soma é
.