1^a Questão:
(a) Encontre um vetor perpendicular ao plano que passa através dos pontos P(1,4,6), Q(-2,5,-1) e R(1,-1,1) m
(b) Encontre a área do triângulo com vértices nesses pontos P, Q e R dados no item anterior.

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos três pontos no espaço P(1,4,6), Q(-2,5,-1) e R(1,-1,1).
(a) Precisamos achar um vetor vec m perpendicular ao plano que passa por esses três pontos.
(b) Depois queremos a área do triângulo PQR.
Conteúdo envolvido:
  • Operações com vetores (subtração para gerar vetores de direção).
  • Produto vetorial (para achar um vetor perpendicular ao plano).
  • Norma de um vetor e fórmula da área do triângulo em termos do produto vetorial.
O que vamos usar:
  1. Vetores PQ e PR.
  2. Produto vetorial PQtimesPR.
  3. A área do triângulo é tfrac12l|PQtimesPRr|.

Passo 2

Primeiro a gente monta os vetores do plano:
PQ = Q - P = (-2-1,;5-4,;-1-6) = (-3,,1,,-7),
PR = R - P = (1-1,;-1-4,;1-6) = (0,,-5,,-5)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial PQtimesPR. Pela definição
PQtimesPR = i & j & k -3 & 1 & -7 0 & -5 & -5 ,
cada componente é
(PQtimesPR)x &= 1cdot(-5) - (-7)cdot(-5) = -5 -35 = -40, (PQtimesPR)y &= -l((-3)cdot(-5) - (-7)cdot0r) = - (15 -0) = -15, (PQtimesPR)z &= -3cdot(-5) - 1cdot0 = 15 -0 = 15
Então
PQtimesPR = (-40,,-15,,15)
Podemos simplificar esse vetor, dividindo por 5, e trocar o sinal se quisermos um sentido invertido, por exemplo
vec m = (-8,,-3,,3) ou vec m = (8,,3,,-3),
que são ambos perpendiculares ao plano.

Passo 4

Para a área do triângulo PQR usamos
área = 12,l|PQtimesPRr| á
Já sabemos PQtimesPR=(-40,-15,15), então sua norma é
l|(-40,-15,15)r| =raiz(-40)^2+(-15)^2+15^2 =raiz1600+225+225 =raiz2050 =5raiz82
Logo
área = 12cdot 5raiz82 = 5raiz822 á

Resposta

(a) Um vetor perpendicular ao plano é, por exemplo,
boxedvec m = (-8,,-3,,3)
(b) A área do triângulo PQR é
boxed5raiz822

Exercícios relacionados