Para cada equação nos Problemas de 1 a 12,determine se é ela exata.Se for,encontre a solução.
\frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{a\,x - b\,y}{b\,x - c\,y}
e pede para testar se ela é exata. Se for exata, devemos encontrar a solução implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0. Basta multiplicar ambos os lados por (b\,x - c\,y)\,dx:
(a\,x - b\,y)\,dx + (b\,x - c\,y)\,dy = 0.
Aqui
M(x,y) = a\,x - b\,y, \quad N(x,y) = b\,x - c\,y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o teste de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = -b, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = b.

Passo 4

Como \partial M/\partial y = -b difere de \partial N/\partial x = b (a não ser no caso degenerado b=0), concluímos que a forma diferencial não é exata em geral.

Resposta

A equação diferencial não é exata (exceto no caso trivial b=0).

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