Represente em um plano cartesiano o produto:
b) W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}+4 x-8 y+19 \geq 0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente no plano cartesiano o conjunto
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 + 4x - 8y + 19 \ge 0\}.
O conteúdo envolvido é inequação de segundo grau em duas variáveis, que se reconhece como a “equação geral” de uma circunferência após completar quadrados.

Passo 2

Reagrupamos os termos quadráticos e lineares de x e y:
x^2 + 4x \;+\; y^2 - 8y \;+\; 19 \;\ge\; 0.

Passo 3

Completemos quadrados em x e em y:
x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4,
y^2 - 8y = (y-4)^2 - 16.
Substituindo na inequação,
(x+2)^2 - 4 \;+\; (y-4)^2 - 16 \;+\; 19 \;\ge\; 0
\Longrightarrow (x+2)^2 + (y-4)^2 -1 \;\ge\; 0.

Passo 4

Reescrevemos a condição de forma padrão:
(x+2)^2 + (y-4)^2 \;\ge\; 1.
Isso significa que W é o conjunto de todos os pontos cuja distância até o centro C(-2,4) é maior ou igual a 1.

Passo 5

Graficamente, trace a circunferência de centro C(-2,4) e raio 1. A região que satisfaz a inequação é o exterior dessa circunferência, incluindo a própria fronteira.

Resposta

Represente no plano cartesiano a circunferência de centro (-2,4) e raio 1 e sombreie toda a região externa a ela, incluindo a borda.

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