Determine a solução geral da equação diferencial a seguir.
y^{\prime}=\frac{\left(x^{4}+3 x^{2} y^{2}+y^{4}\right)}{x^{3} y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+y^{4}}{x^{3}y}\,.
Este é um caso de equação homogênea, pois o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau em x e y. Vamos usar a substituição
y=v x,\quad v=v(x),
para reduzir a um separável.

Passo 2

Com y=v x temos
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO,
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{x^{4}+3x^{2}(v x)^{2}+(v x)^{4}}{x^{3}(v x)} =\frac{x^{4}+3x^{4}v^{2}+x^{4}v^{4}}{x^{4}v} =\frac{1+3v^{2}+v^{4}}{v}.
Logo,
x\frac{dv}{dx} =\frac{1+3v^{2}+v^{4}}{v}-v =\frac{1+2v^{2}+v^{4}}{v} =\frac{(1+v^{2})^{2}}{v}.

Passo 3

Rearranjando para separar variáveis:
\frac{v}{(1+v^{2})^{2}}\,dv =\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, com u=1+v^{2}, du=2v\,dv:
\int \frac{v}{(1+v^{2})^{2}}\,dv =\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du =-\frac{1}{2u}+C_{1} =-\frac{1}{2(1+v^{2})}+C_{1}.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert +C_{2}.
Igualando as duas primitivas,
-\frac{1}{2(1+v^{2})} =\ln\lvert x\rvert +C,
onde C=C_{2}-C_{1}.

Passo 4

Voltando a v=y/x, temos
\frac{1}{1+(y/x)^{2}} =-2\ln\lvert x\rvert +C'.
Como
\frac{1}{1+(y/x)^{2}} =\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}},
a forma implícita da solução geral é
\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} +2\ln\lvert x\rvert =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+2\ln\lvert x\rvert=C,
onde C é a constante de integração.

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