Em cada equação do tipo
abaixo, determine as regiões no plano
onde a função correspondente
está definida e tem derivada parcial em relação a
contínua por partes em
e
e, portanto, a unicidade pode ser garantida no interior da região.
Passo 1
O enunciado pede para a equação de primeira ordem
com
determinar onde no plano
a função
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas, garantindo unicidade pela condição de Lipschitz local (teorema de Picard–Lindelöf).
Passo 2
A função é
. Como
e a multiplicação por
estão definidas para todo
e todo
, o domínio de
é o plano inteiro:
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
Como
Passo 4
Pela existência e unicidade, sempre que
e
forem contínuas numa região aberta, há única solução local. Aqui isso vale em qualquer região aberta de
.
Resposta
A função
e
são contínuas em todo o plano
. Logo, a unicidade está garantida em qualquer região aberta de
.