Em cada equação do tipo x^prime=f(t, x) abaixo, determine as regiões no plano t x onde a função correspondente f(t, x) está definida e tem derivada parcial em relação a x contínua por partes em t e x e, portanto, a unicidade pode ser garantida no interior da região.
x^prime=x sen t

Passo 1

O enunciado pede para a equação de primeira ordem x'=f(t,x) com f(t,x)=xsin t determinar onde no plano (t,x) a função f e sua derivada parcial em relação a x são contínuas, garantindo unicidade pela condição de Lipschitz local (teorema de Picard–Lindelöf).

Passo 2

A função é f(t,x)=xsin t. Como sin t e a multiplicação por x estão definidas para todo tin R e todo xin R, o domínio de f é o plano inteiro:

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x(t,x)=sin t
Como sin t é uma função contínua em t (e não depende de x), essa derivada parcial é contínua em todo o plano (t,x).

Passo 4

Pela existência e unicidade, sempre que f e partial f/partial x forem contínuas numa região aberta, há única solução local. Aqui isso vale em qualquer região aberta de R^2.

Resposta

A função f(t,x)=xsin t e partial f/partial x=sin t são contínuas em todo o plano (t,x)in R^2. Logo, a unicidade está garantida em qualquer região aberta de R^2.

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