Para cada uma das equações abaixo, cheque quantas operações “complicadas” (exp, log, sen, cos) são necessárias para um passo do método de Newton e para o passo do método da secante. Assumindo que essas operações sejam a parte dominante do tempo que o método tomaria (e que todas operações complicadas levem o mesmo tempo), qual dos dois métodos (secante ou Newton) seria o mais rápido (para obter a mesma precisão)? (note que é possível reaproveitar valores para reduzir o número necessário dessas operações)
(c)
e^{2 x}+e^{x}-x^{2}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Precisamos comparar, para a equação e^{2x}+e^{x}-x^{2}=0, quantas operações “complicadas” (aqui só aparece \exp) são necessárias:
    • para um passo do método de Newton;
    • para um passo do método da secante.
  • Devemos considerar reaproveitamento de valores para reduzir o número de \exp.
  • Assumindo que \exp é a parte dominante do custo e que cada \exp leva o mesmo tempo, decidir qual método (Newton ou secante) seria mais rápido para obter a mesma precisão.
  • Informação dada explicitamente: a função é f(x)=e^{2x}+e^{x}-x^{2}.

Passo 2

Relembrando o método de Newton (fórmula do passo) e o que é necessário calcular:
  • Fórmula do passo de Newton: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Para a nossa função, a derivada é f'(x)=2e^{2x}+e^{x}-2x.
  • Para executar um passo precisamos avaliar f(x_n) e f'(x_n).
Agora vamos ver quais são as operações \exp necessárias para essas avaliações e como podemos reaproveitar valores:
  • Para calcular f(x_n)=e^{2x_n}+e^{x_n}-x_n^{2} precisamos de e^{x_n} e e^{2x_n}.
  • Observação importante (reuso): se calcularmos e^{x_n} uma vez com a operação \exp(x_n), podemos obter e^{2x_n} por multiplicação: e^{2x_n}=(e^{x_n})^{2}. Multiplicação é uma operação barata comparada com \exp.
  • Para calcular f'(x_n)=2e^{2x_n}+e^{x_n}-2x_n também precisamos exatamente dos mesmos termos e^{x_n} e e^{2x_n}.
  • Conclusão concreta: calculando e^{x_n} uma única vez por iteração, eu tenho todos os termos exponenciais necessários tanto para f(x_n) quanto para f'(x_n).
Contagem de \exp por passo de Newton:
  • Número de \exp por passo: \,1 (uma \exp para obter e^{x_n}; e^{2x_n} obtido por quadrado).

Passo 3

Relembrando o método da secante (fórmula do passo) e o que é necessário calcular:
  • Fórmula do passo da secante (usando x_{n-1} e x_n): x_{n+1}=x_n-\;f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Para computar o numerador e denominador precisamos de f(x_n) e f(x_{n-1}).
  • Implementação típica: guardamos f(x_{n-1}) já calculado da iteração anterior, então, a cada nova iteração só precisamos avaliar f no ponto novo x_n (exceto na inicialização, onde avaliamos f em dois pontos iniciais x_0 e x_1).
Agora, para a nossa função f(x)=e^{2x}+e^{x}-x^{2}:
  • Cada avaliação de f em um ponto x requer e^{x} e e^{2x}.
  • Como antes, podemos calcular e^{x} uma vez e obter e^{2x}=(e^{x})^{2}.
  • Assim, cada avaliação de f em um ponto novo custa \,1 operação \exp.
Contagem de \exp por passo da secante:
  • Para uma iteração típica (após ter f(x_{n-1}) armazenado): precisamos de \,1 \exp (para avaliar f(x_n)).
  • Inicialmente, para começar o método, precisamos avaliar f em dois pontos x_0 e x_1: isso custa \,2 \exp na fase de inicialização (mas esse custo é amortizado ao longo das iterações seguintes).

Passo 4

Resumo prático dos custos por iteração (considerando reaproveitamento):
  • Newton: \,1 \exp por iteração (cada iteração calcula e^{x_n} e obtém e^{2x_n} por quadrado; usa-os para f e f').
  • Secante: \,1 \exp por iteração típica depois da inicialização; na inicialização precisa de \,2 \exp para obter f(x_0) e f(x_1).
  • Conclusão até aqui: em custo por iteração puro (ignorando inicialização), ambos custam aproximadamente a mesma quantidade de \exp por passo: \,1 \exp.

Passo 5

Agora comparar eficiência final levando em conta a taxa de convergência (quantas iterações cada método precisa para alcançar a mesma precisão):
  • Ordem de convergência:
    • Newton tem ordem 2 (convergência quadrática): o erro se reduz aproximadamente como \,e_{n+1}\approx C e_n^{2}.
    • Secante tem ordem \varphi\approx 1{,}618 (convergência superlinear, mas mais lenta que quadrática): o erro se reduz aproximadamente como \,e_{n+1}\approx C e_n^{\varphi}.
  • Consequência prática: para chegar a uma precisão muito pequena, Newton costuma precisar de muito menos iterações do que a secante.
Exemplo numérico ilustrativo (para entendimento concreto):
  • Suponha erro inicial da iteração relevante seja e_0=10^{-1} e que queremos atingir 10^{-8}.
  • Newton (aproximação grosseira): depois de uma iteração e_1\approx(10^{-1})^{2}=10^{-2}; depois e_2\approx10^{-4}; depois e_3\approx10^{-8}. São \,3 iterações.
  • Secante (usar propriedades logarítmicas): o expoente do log diminui multiplicando por \varphi a cada iteração. Para ir de -1 (log10 do erro) a -8 precisamos de k tal que 1{,}618^{k}\approx 8, o que dá k\approx 4{,}3, então \approx 5 iterações.
  • Contagem aproximada de \exp total no exemplo:
    • Newton: \,3 iterações × \,1 \exp/iteração = \,3 \exp.
    • Secante: inicial \,2 \exp + (sucessivas) \, (5-1)=4 iterações adicionais × \,1 \exp = \,6 \exp.
  • Mesmo que o exemplo numérico seja aproximado, ele ilustra o ponto: Newton precisa de menos iterações e portanto de menos \exp no total.

Passo 6

Conclusão final e observações práticas:
  • Como tanto Newton quanto secante podem ser implementados de modo a usar apenas \,1 \exp por iteração (reutilizando e^{x} para obter e^{2x}), o custo por iteração em termos de operações “complicadas” é essencialmente o mesmo.
  • Porque Newton converge quadraticamente e a secante converge mais lentamente (ordem \varphi), Newton precisa de significativamente menos iterações para atingir a mesma precisão.
  • Logo, contabilizando o número total de \exp necessárias até atingir a precisão desejada, o método de Newton será mais rápido (exigirá menos \exp no total) para esta função específica.

Resposta

Newton — mais rápido. Newton: \,1 \exp por iteração; Secante: \,1 \exp por iteração típica (mais \,2 \exp na inicialização); Newton precisa de menos iterações devido à convergência quadrática.

Exercícios relacionados