Para cada uma das equações abaixo, cheque quantas operações “complicadas” (exp, log, sen, cos) são necessárias para um passo do método de Newton e para o passo do método da secante. Assumindo que essas operações sejam a parte dominante do tempo que o método tomaria (e que todas operações complicadas levem o mesmo tempo), qual dos dois métodos (secante ou Newton) seria o mais rápido (para obter a mesma precisão)? (note que é possível reaproveitar valores para reduzir o número necessário dessas operações)
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para, para a equação
checar quantas operações “complicadas” (exp, log, sen, cos) são necessárias para um passo do método de Newton e para um passo do método da secante, levando em conta que podemos reaproveitar valores já calculados. Em seguida, assumindo que essas operações dominam o custo (todas levam o mesmo tempo), decidir qual dos dois métodos (secante ou Newton) seria mais rápido para obter a mesma precisão.
Informações relevantes dadas: a função é
Não foi dada nenhuma outra restrição — portanto considere o custo assintótico por iteração no regime final (quando estamos próximo da raiz e os comportamentos de convergência padrão valem).
Passo 2
Vamos escrever explicitamente
e sua derivada
(porque o método de Newton precisa de
). Calcule a derivada passo a passo (produto de três fatores
,
,
):
Começamos com
Derivando o produto
usando a regra do produto (derivada é soma de três termos, cada um derivando um dos fatores):
Agrupando
em fator comum:
Agora identifique quais operações “complicadas” aparecem em
e em
:
-
usa e (duas operações complicadas). -
usa , e (três operações complicadas).
Passo 3
Contagem de operações complicadas por iteração do método de Newton, explorando reaproveitamento:
Num passo de Newton típico precisamos avaliar
e
. Observação importante: ao computar
e
no mesmo ponto
podemos reaproveitar resultados:
- Calcule uma vez
. - Calcule uma vez
. - Calcule uma vez
(necessário só para ).
Portanto as operações “complicadas” distintas que precisamos por iteração de Newton são:, , — total de operações complicadas por iteração. (Não há necessidade de recalcular ou separadamente para e .)
Passo 4
Contagem de operações complicadas por iteração do método da secante, explorando reaproveitamento:
No método da secante, a iteração que gera
usa os valores
e
para aproximar a derivada por diferença dividida. Se armazenamos
da iteração anterior, na iteração atual só precisamos avaliar
(o
no ponto mais novo). Cada avaliação de
requer:
-
e — ou seja, 2 operações complicadas por iteração (reaproveitando o anterior).
Logo secante:operações complicadas por iteração.
Passo 5
Agora compare velocidade considerando ordem de convergência (para entender quantas iterações cada método precisa para atingir a mesma precisão). Conceitos e derivação curta e didática:
- Ordem de convergência: se um método tem ordem
, para erros pequenos seu erro se comporta como
onde
é o erro na iteração
e
é uma constante. Isso significa que, no regime assintótico, o termo
cresce aproximadamente multiplicativamente por
a cada iteração. Assim, para alcançar uma tolerância
a partir de um erro inicial
, o número de iterações
satisfaz (aproximadamente)
o que dá, isolando
,
O ponto importante é que, assintoticamente,
escala como
(o numerador depende apenas fracamente de
pela
e das tolerâncias).
- Para os métodos em questão:
- Newton tem ordem
(convergência quadrática). - Secante tem ordem
, onde (ordem superlinear conhecida).
- Newton tem ordem
Portanto, na comparação assintótica de números de iterações necessários,
Calcule numericamente:
logo
Ou seja, para chegar à mesma precisão a secante precisa cerca de
vezes mais iterações do que Newton, em média, no regime assintótico.
Passo 6
Compare agora o custo total (somando número de iterações multiplicado pelo custo por iteração, onde custo por iteração é número de operações complicadas):
- Newton: custo por iteração
operações complicadas, iterações → custo total proporcional a . - Secante: custo por iteração
operações complicadas, iterações → custo total proporcional a .
Comparando
(Newton) com
(secante), vemos que
ou seja, a secante exige ligeiramente menos operações complicadas no total: a secante seria um pouco mais rápida — aproximadamente
mais rápida em termos de número total dessas operações (razão
, isto é, secante usa cerca de
vezes o custo de Newton, ou 4% menos). Na prática isso significa uma vantagem pequena, não uma diferença dramática.
Passo 7
Observações finais e ressalvas (importantes para a prova e para aplicação prática):
- Contagem acima assumiu que cada uma das funções
, , têm custo idêntico e dominante. Se houver implementações que retornem e simultaneamente com custo similar ao de uma só (função sincos), o custo do Newton poderia cair para 2 operações efetivas ( e sincos), mudando a comparação a favor do Newton. - Se a avaliação de
for muito mais cara que ou (ou vice‑versa) a contagem deve ser ajustada. - Também há custos extracalc (divisões, somas) que ignoramos por serem assumidos desprezíveis frente às operações complicadas.
- Em muitos problemas práticos a convergência robusta inicial e comportamento global (necessidade de bons chutes iniciais) também influenciam a escolha do método.
Resposta
Newton:
operações complicadas por iteração (reaproveitando
e
para calcular
e
).
Secante: operações complicadas por iteração (avaliação de
no ponto novo, reaproveitando a avaliação anterior).
Mais rápido (assumindo as hipóteses dadas): Secante — ligeiramente mais rápida (custo total ≈ vs
, ou seja, ≈4% mais econômica em termos das operações complicadas).
Secante:
Mais rápido (assumindo as hipóteses dadas): Secante — ligeiramente mais rápida (custo total ≈