Para cada uma das equações abaixo, cheque quantas operações “complicadas” (exp, log, sen, cos) são necessárias para um passo do método de Newton e para o passo do método da secante. Assumindo que essas operações sejam a parte dominante do tempo que o método tomaria (e que todas operações complicadas levem o mesmo tempo), qual dos dois métodos (secante ou Newton) seria o mais rápido (para obter a mesma precisão)? (note que é possível reaproveitar valores para reduzir o número necessário dessas operações)
(d)
x^{2} e^{x} \cos (x)-1=0

Passo 1

O enunciado pede para, para a equação x^{2} e^{x} \cos(x)-1=0, checar quantas operações “complicadas” (exp, log, sen, cos) são necessárias para um passo do método de Newton e para um passo do método da secante, levando em conta que podemos reaproveitar valores já calculados. Em seguida, assumindo que essas operações dominam o custo (todas levam o mesmo tempo), decidir qual dos dois métodos (secante ou Newton) seria mais rápido para obter a mesma precisão.
Informações relevantes dadas: a função é f(x)=x^{2} e^{x} \cos(x)-1. Não foi dada nenhuma outra restrição — portanto considere o custo assintótico por iteração no regime final (quando estamos próximo da raiz e os comportamentos de convergência padrão valem).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente f(x) e sua derivada f'(x) (porque o método de Newton precisa de f'). Calcule a derivada passo a passo (produto de três fatores x^2, e^x, \cos x):
Começamos com
f(x)=x^{2} e^{x} \cos(x)-1.
Derivando o produto x^2\cdot e^x\cdot\cos x usando a regra do produto (derivada é soma de três termos, cada um derivando um dos fatores):
f'(x)=2x\cdot e^{x}\cos x + x^{2}\cdot e^{x}\cos x + x^{2}\cdot e^{x}(-\sin x).
Agrupando e^{x} em fator comum:
f'(x)=e^{x}\big(\cos x\,(2x+x^{2}) - x^{2}\sin x\big).
Agora identifique quais operações “complicadas” aparecem em f e em f':
  • f(x) usa e^{x} e \cos x (duas operações complicadas).
  • f'(x) usa e^{x}, \cos x e \sin x (três operações complicadas).

Passo 3

Contagem de operações complicadas por iteração do método de Newton, explorando reaproveitamento:
Num passo de Newton típico precisamos avaliar f(x_n) e f'(x_n). Observação importante: ao computar f e f' no mesmo ponto x_n podemos reaproveitar resultados:
  • Calcule uma vez e^{x_n}.
  • Calcule uma vez \cos x_n.
  • Calcule uma vez \sin x_n (necessário só para f').
    Portanto as operações “complicadas” distintas que precisamos por iteração de Newton são: e^{x_n}, \cos x_n, \sin x_n — total de 3 operações complicadas por iteração. (Não há necessidade de recalcular e^{x_n} ou \cos x_n separadamente para f e f'.)

Passo 4

Contagem de operações complicadas por iteração do método da secante, explorando reaproveitamento:
No método da secante, a iteração que gera x_{n+1} usa os valores f(x_n) e f(x_{n-1}) para aproximar a derivada por diferença dividida. Se armazenamos f(x_{n-1}) da iteração anterior, na iteração atual só precisamos avaliar f(x_n) (o f no ponto mais novo). Cada avaliação de f requer:
  • e^{x_n} e \cos x_n — ou seja, 2 operações complicadas por iteração (reaproveitando o f anterior).
    Logo secante: 2 operações complicadas por iteração.

Passo 5

Agora compare velocidade considerando ordem de convergência (para entender quantas iterações cada método precisa para atingir a mesma precisão). Conceitos e derivação curta e didática:
  • Ordem de convergência: se um método tem ordem p, para erros pequenos seu erro se comporta como
e_{n+1}\approx C\, e_n^{p},
onde e_n é o erro na iteração n e C é uma constante. Isso significa que, no regime assintótico, o termo -\ln e_n cresce aproximadamente multiplicativamente por p a cada iteração. Assim, para alcançar uma tolerância \varepsilon a partir de um erro inicial e_0, o número de iterações N satisfaz (aproximadamente)
p^{N}\cdot(-\ln e_0)\gtrsim \ln\frac{1}{\varepsilon},
o que dá, isolando N,
N \approx \frac{\ln\!\big(\ln(1/\varepsilon)\big)-\ln\!\big(-\ln e_0\big)}{\ln p}.
O ponto importante é que, assintoticamente, N escala como 1/\ln p (o numerador depende apenas fracamente de p pela \ln\ln e das tolerâncias).
  • Para os métodos em questão:
    • Newton tem ordem p_N=2 (convergência quadrática).
    • Secante tem ordem p_S=\varphi, onde \varphi=(1+\sqrt{5})/2\approx 1{,}618 (ordem superlinear conhecida).
Portanto, na comparação assintótica de números de iterações necessários,
\frac{N_S}{N_N}\approx\frac{\ln p_N}{\ln p_S}=\frac{\ln 2}{\ln\varphi}.
Calcule numericamente:
\ln 2\approx 0{,}6931,\qquad \ln\varphi\approx \ln(1{,}618)\approx 0{,}4812,
logo
\frac{N_S}{N_N}\approx\frac{0{,}6931}{0{,}4812}\approx 1{,}44.
Ou seja, para chegar à mesma precisão a secante precisa cerca de 1{,}44 vezes mais iterações do que Newton, em média, no regime assintótico.

Passo 6

Compare agora o custo total (somando número de iterações multiplicado pelo custo por iteração, onde custo por iteração é número de operações complicadas):
  • Newton: custo por iteração =3 operações complicadas, iterações =N_N → custo total proporcional a 3N_N.
  • Secante: custo por iteração =2 operações complicadas, iterações =N_S\approx 1{,}44 N_N → custo total proporcional a 2N_S \approx 2\cdot 1{,}44 N_N = 2{,}88 N_N.
Comparando 3N_N (Newton) com 2{,}88 N_N (secante), vemos que
2{,}88 N_N < 3 N_N,
ou seja, a secante exige ligeiramente menos operações complicadas no total: a secante seria um pouco mais rápida — aproximadamente 3{,}0\% mais rápida em termos de número total dessas operações (razão \frac{2{,}88}{3}=0{,}96, isto é, secante usa cerca de 0{,}96 vezes o custo de Newton, ou 4% menos). Na prática isso significa uma vantagem pequena, não uma diferença dramática.

Passo 7

Observações finais e ressalvas (importantes para a prova e para aplicação prática):
  • Contagem acima assumiu que cada uma das funções e^x, \sin x, \cos x têm custo idêntico e dominante. Se houver implementações que retornem \sin x e \cos x simultaneamente com custo similar ao de uma só (função sincos), o custo do Newton poderia cair para 2 operações efetivas ( e^x e sincos), mudando a comparação a favor do Newton.
  • Se a avaliação de e^x for muito mais cara que \sin ou \cos (ou vice‑versa) a contagem deve ser ajustada.
  • Também há custos extracalc (divisões, somas) que ignoramos por serem assumidos desprezíveis frente às operações complicadas.
  • Em muitos problemas práticos a convergência robusta inicial e comportamento global (necessidade de bons chutes iniciais) também influenciam a escolha do método.

Resposta

Newton: 3 operações complicadas por iteração (reaproveitando e^{x} e \cos x para calcular f e f').
Secante: 2 operações complicadas por iteração (avaliação de f no ponto novo, reaproveitando a avaliação anterior).
Mais rápido (assumindo as hipóteses dadas): Secante — ligeiramente mais rápida (custo total ≈ 2{,}88N_N vs 3N_N, ou seja, ≈4% mais econômica em termos das operações complicadas).

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