Para cada uma das equações abaixo, cheque quantas operações “complicadas” (exp, log, sen, cos) são necessárias para um passo do método de Newton e para o passo do método da secante. Assumindo que essas operações sejam a parte dominante do tempo que o método tomaria (e que todas operações complicadas levem o mesmo tempo), qual dos dois métodos (secante ou Newton) seria o mais rápido (para obter a mesma precisão)? (note que é possível reaproveitar valores para reduzir o número necessário dessas operações)
(b)
x \operatorname{sen}(x)-1=0

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação
f(x)=x\operatorname{sen}(x)-1=0,
a gente conte quantas operações “complicadas” (exp, log, sen, cos) são necessárias para um passo do método de Newton e para um passo do método da secante, assumindo que só essas operações dominam o tempo. Devemos considerar reaproveitamento de valores quando possível e, ao final, decidir qual método seria mais rápido para obter a mesma precisão.
Informações relevantes dadas:
f(x)=x\operatorname{sen}(x)-1.
Não há outros dados (como aproximações iniciais), então trabalharemos com o custo por iteração no regime assintótico (quando já estamos na fase de convergência e podemos reaproveitar valores das iterações anteriores).

Passo 2

Relembrando o método de Newton (fórmula e o que precisa calcular):
A iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Primeiro calculamos f(x_n) e f'(x_n). Vamos derivar f:
f(x)=x\operatorname{sen}(x)-1\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\operatorname{sen}(x)+x\cos(x),
pois a derivada de x\operatorname{sen}(x) é \operatorname{sen}(x)+x\cos(x) (produto: (x)'\operatorname{sen} x + x(\operatorname{sen} x)' = 1\cdot\operatorname{sen} x + x\cdot\cos x).
Quais operações complicadas aparecem ao avaliar f(x_n) e f'(x_n)?
  • Para f(x_n)=x_n\operatorname{sen}(x_n)-1 precisamos de \operatorname{sen}(x_n) — uma operação complicada.
  • Para f'(x_n)=\operatorname{sen}(x_n)+x_n\cos(x_n) precisamos de \operatorname{sen}(x_n) (já calculada) e de \cos(x_n) — outra operação complicada.
Podemos reaproveitar \operatorname{sen}(x_n) entre f e f'. Logo, no total por passo de Newton precisamos calcular:
  • \operatorname{sen}(x_n) (1 operação complicada),
  • \cos(x_n) (1 operação complicada).
    Total: 2 operações complicadas por iteração de Newton.

Passo 3

Agora o método da secante (fórmula e análise do custo):
A iteração da secante usa duas aproximações anteriores x_{n-1} e x_n:
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Para executar um passo típico, assumimos que já temos armazenados x_{n-1},x_n e os valores f(x_{n-1}),f(x_n) calculados na iteração anterior (é pratica comum guardar estes valores). Então, para produzir x_{n+1} só precisamos avaliar f no novo ponto quando avançarmos — ou, mais precisamente, no passo que gera x_{n+1} precisamos do valor de f(x_n) (que já temos) e de f(x_{n-1}) (que já temos); para o próximo passo só precisaremos avaliar f no novo x_{n+1}. Portanto, por passo novo da secante precisamos calcular apenas um novo f(\cdot).
Avaliar f(x)=x\operatorname{sen}(x)-1 exige apenas \operatorname{sen}(x) (uma operação complicada). Não precisamos de \cos. Logo, por iteração da secante (reaproveitando valores anteriores) precisamos de:
  • \operatorname{sen}(\text{novo ponto}) 1 operação complicada por passo.
Observação sobre o início: a secante precisa de duas avaliações iniciais de f para começar, mas isso é um custo fixo amortizado; o que importa para comparação assintótica por precisão é o custo por iteração já em andamento.

Passo 4

Comparação considerando convergências e custo das operações complicadas:
  • Ordem de convergência do método de Newton: p_{\text{Newton}}=2 (quadrático).
  • Ordem de convergência do método da secante: p_{\text{secante}}=\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618 (aproximação linear-superlinear).
Uma forma padrão de comparar eficiência quando um certo tipo de operação domina é usar o índice de eficiência
\text{índice}=p^{1/m},í
onde p é a ordem de convergência e m é o número de avaliações “caras” (aqui: operações complicadas) por iteração.
Calculemos:
  • Newton: m=2 (precisa de \operatorname{sen} e \cos por passo), então
\text{índice}_{\text{Newton}}=2^{1/2}\approx 1,414.í
  • Secante: m=1 (só \operatorname{sen} por passo), então
\text{índice}_{\text{secante}}=\varphi^{1/1}\approx 1,618.í
Interpretação: quanto maior o índice, mais “eficiente” é o método por operação cara. Aqui a secante tem índice maior, isto é, por operação complicada gasta ela reduz o erro mais eficientemente que Newton.
Conclusão prática: assumindo que apenas as operações \operatorname{sen} e \cos dominam o tempo e que podemos reaproveitar valores como descrito, a secante fará menos operações caras por unidade de redução do erro e, portanto, será mais rápida para atingir a mesma precisão (na fase assintótica de convergência, quando as taxas de ordem valem).

Passo 5

Resumo dos custos por passo e da escolha:
  • Newton: 2 operações complicadas por iteração ( \operatorname{sen} e \cos no mesmo x_n ).
  • Secante: 1 operação complicada por iteração ( \operatorname{sen} no novo ponto ), reaproveitando os f já calculados.
Como 1,618>1,414 para os índices de eficiência, a secante é a opção mais rápida sob as hipóteses do enunciado (operações complicadas dominantes e possibilidade de reaproveitar valores).

Resposta

Newton: 2 operações complicadas por passo.
Secante: 1 operação complicada por passo.
Método mais rápido (para mesma precisão, sob as hipóteses dadas): método da secante.

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