Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre a expressão para y^prime(x) e y^prime(x0) no ponto indicado.
x^2+y^2=2, com y(1)=1

Passo 1

O enunciado define implicitamente a curva
x^2 + y^2 = 2
e pede a derivada y'= dydx em função de x e seu valor em x0=1 sabendo que y(1)=1. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, em que tratamos y como função de x.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^2 + y^2 = 2
em relação a x, temos
ddxl(x^2 + y^2r)=ddx2
ou seja
2x + 2y,y' = 0
Agora isolamos y':
y' = -xy

Passo 3

Para encontrar y' no ponto (x0,y0)=(1,1), basta substituir em
y' = -xy
os valores x=1 e y=1, obtendo
y'(1) = -11 = -1

Resposta

y' = -xy
y'(1) = -1

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