Calcule as derivadas das funções abaixo no ponto x=1, usando as propriedades das derivadas:
dl(x)=ln [cos (sen raizx^3-1+pi^24)]sen(pi2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada no ponto x=1 da função
dl(x)=lnl[cosl(senraizx^3-1+pi^24r)r]sen!l(tfracpi2xr)
O conteúdo necessário inclui a regra do quociente e a regra da cadeia, bem como as derivadas de ln, cos, sen e raizcdot.

Passo 2

Chamemos
h(x)=x^3-1+pi^24, f(x)=lnl[cosl(senraizh(x)r)r], g(x)=sen!l(pi2xr)
Em x=1 temos
h(1)=1-1+pi^24=pi^24, raizh(1)=pi2, sen!l(pi2r)=1, cos(1)=cos!l(senraizh(1)r)
Logo
f(1)=lnl[cos(1)r], g(1)=sen!l(pi2r)=1

Passo 3

Usando regra da cadeia em f(x)=ln(u(x)) com u(x)=cosl(senraizh(x)r),
f'(x)=u'(x)u(x) =-senl(senraizh(x)r)cdotddxl[senraizh(x)r]cosl(senraizh(x)r)
Em seguida, para v(x)=senraizh(x) e w(x)=raizh(x):
v'(x)=cosl(w(x)r),w'(x), w'(x)=h'(x)2raizh(x)=3x^22raizh(x)
Portanto
f'(x) =-tan!l(senraizh(x)r),cosl(raizh(x)r),3x^22raizh(x)

Passo 4

Em x=1 temos raizh(1)=pi/2, logo cos(pi/2)=0. Assim
f'(1)=-tan(1)cdot 0cdot3cdot1^22cdot(pi/2)=0

Passo 5

Para g(x)=senl(tfracpi2xr),
g'(x)=cos!l(pi2xr)cdotpi2,
e em x=1 temos cos(pi/2)=0, portanto
g'(1)=0cdotpi2=0

Passo 6

Pela regra do quociente
dl'(1) =f'(1),g(1)-f(1),g'(1)l[g(1)r]^2 =0cdot1-lnl[cos(1)r]cdot01^2 =0

Resposta

dl'(1)=0

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