Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre a expressão para y^prime(x) e y^prime(x0) no ponto indicado.
y^3=x+y, com y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
y^3 = x + y
e pede a derivada y'=dydx em função de x e também o valor de y' no ponto x0=0, sabendo que y(0)=1. Vamos usar derivação implícita.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x, obtemos
ddx(y^3) = ddx(x+y)
No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
ddx(y^3)=3y^2,y'
No direito,
ddx(x+y)=1 + y'
Logo,
3y^2,y' = 1 + y'

Passo 3

Agrupando os termos com y',
3y^2,y' - y' = 1 Longrightarrow (3y^2 - 1),y' = 1
Isolando y',
y'(x) = 13y^2 - 1

Passo 4

Agora avaliamos em x0=0. Sabemos que y(0)=1, então
y'(0) = 13cdot 1^2 - 1 = 13 - 1 = 12

Resposta

y'(x) = 13y^2 - 1,
y'(0) = tfrac12

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