Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre a expressão para y^prime(x) e y^prime(x0) no ponto indicado.
x y-sin (y-x)=y^2, com y(pi)=pi

Passo 1

O enunciado define y implicitamente pela equação
x,y - sinl(y - xr) = y^2,
com a condição y(pi)=pi.
O conteúdo é derivação implícita, ou seja, vamos derivar ambos os lados em relação a x e depois isolar y'(x).

Passo 2

Aplicando a derivada em cada termo da equação
ddxl(x,yr);-;ddxsinl(y - xr) ;=;ddxl(y^2r),
temos:
underbraceddx(x,y)y + x,y';-;underbraceddxsin(y - x)cos(y - x),(1 - y');=;underbraceddx(y^2)2,y,y'
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y + x,y' - cos(y - x),(1 - y') = 2,y,y'

Passo 3

Vamos agrupar todos os termos com y' de um lado:
y + x,y' - cos(y - x) + cos(y - x),y' = 2,y,y' ;;Longrightarrow;; x,y' + cos(y - x),y' - 2,y,y' = cos(y - x) - y
Fatorando y':
y'l(x + cos(y - x) - 2,yr) = cos(y - x) - y ;;Longrightarrow;; y' = -y + cos(y - x),x - cos(y - x) - 2,y,

Passo 4

Agora avaliamos em x0=pi e y(pi)=pi. Note que
y - x = pi - pi = 0 e cos0 = 1
Substituindo em
y' = -y + cos(y - x)x - cos(y - x) - 2,y
ficamos com
y'(pi) = -pi + 1pi - 1 - 2pi = -pi + 1-pi - 1 = 1

Resposta

y'(x) = -y + cos(y - x)x - cos(y - x) - 2,y, y'(pi) = 1

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