Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre a expressão para y^prime(x) e y^prime(x0) no ponto indicado.
y^2+x y+x^2=3, com y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y^2+x,y+x^2=3
e pede a derivada implícita y'(x) e seu valor em x0=1 sabendo que y(1)=1.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando regra da cadeia em y^2 e regra do produto em x,y, obtemos
ddx(y^2)+ddx(x,y)+ddx(x^2)=0
2y,y'+(x,y'+y)+2x=0

Passo 3

Agrupando os termos com y' e isolando, vem
y'(2y+x)+y+2x=0 Longrightarrow y'=-y+2x2y+x

Passo 4

Em x=1 temos y(1)=1, então
y'(1)=-1+2cdot12cdot1+1=-33=-1

Resposta

y'=-dfracy+2x2y+x
y'(1)=-1

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