Cada uma das equações abaixo define, implicitamente, y como função de x. Encontre a expressão para y^prime(x) e y^prime(x0) no ponto indicado.
ln (y+x)+x=1, com y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
ln(y+x) + x = 1
e pede para encontrar a derivada y' = dydx em função de x e o valor numérico de y' no ponto em que x0=1 e y(1)=0. Vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl[ln(y+x)r] + ddx[x] = ddx[1] = 0
Pela regra da cadeia,
ddxl[ln(y+x)r] = 1y+x,ddx(y+x) = 1y+x,(y' + 1)
Logo a equação diferencial fica
y' + 1y+x ;+; 1 ;=; 0
Isolando y', obtemos
y' + 1y+x = -1 Longrightarrow y' + 1 = -(y+x) Longrightarrow y' = -,y ;-; x ;-; 1

Passo 3

Agora avaliamos em x0=1 e y(1)=0:
y'(1) = -l[y(1)r] ;-; 1 ;-; 1 = -,0 ;-; 1 ;-; 1 = -2

Resposta

y'(x) = -,x - y - 1
y'(1) = -2

Exercícios relacionados