Calcule a área da região no primeiro quadrante, fora da circunferência
e dentro da circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área na região do primeiro quadrante que está fora da circunferência
e dentro da circunferência
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e regiões delimitadas por elas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde essas circunferências se cruzam e depois calcular a área desejada através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas circunferências:
-
Circunferência 1:
- Centro na origem
- Raio
- Centro na origem
-
Circunferência 2:
- Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
- Centro em
- Raio
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas circunferências no primeiro quadrante. Igualando as duas equações:
Subtraindo uma da outra:
Substituindo
na primeira equação:
Então, o ponto de interseção no primeiro quadrante é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para calcular a área. No primeiro quadrante,
varia de 0 a 2 (já que a circunferência 2 está centrada em 2 e tem raio 2, chegando até
, mas no primeiro quadrante limitamos até
).
Dentro desses limites:
- A circunferência 1 (
) expressa - A circunferência 2 (
) expressa
A área que queremos é a região onde
está abaixo da circunferência 2 e acima da circunferência 1.
Passo 5
Vamos configurar a integral para encontrar essa área. A fórmula geral para a área entre duas curvas de
a
é:
No nosso caso:
Aqui, integramos de
(ponto de interseção) até
.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, simplificamos:
- Para
, podemos reescrever como - Para
, já está na forma padrão.
Resolvendo a integral, podemos usar métodos de substituição ou integração conhecida, mas para simplificar, vamos calcular numericamente:
Resposta
A área da região no primeiro quadrante, fora da circunferência
e dentro da circunferência
, é aproximadamente
unidades de área.