Calcule a área da região no primeiro quadrante, fora da circunferência x^2+y^2=4 e dentro da circunferência x^2+y^2=4 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área na região do primeiro quadrante que está fora da circunferência x^2 + y^2 = 4 e dentro da circunferência x^2 + y^2 = 4x . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e regiões delimitadas por elas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde essas circunferências se cruzam e depois calcular a área desejada através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas circunferências:
  1. Circunferência 1: x^2 + y^2 = 4
    • Centro na origem (0,0)
    • Raio r = 2
  2. Circunferência 2: x^2 + y^2 = 4x
    • Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
x^2 - 4x + y^2 = 0 (x - 2)^2 + y^2 = 4
  • Centro em (2,0)
  • Raio r = 2

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas circunferências no primeiro quadrante. Igualando as duas equações:
x^2 + y^2 = 4 x^2 + y^2 = 4x
Subtraindo uma da outra:
4x = 4 x = 1
Substituindo x = 1 na primeira equação:
1^2 + y^2 = 4 y^2 = 3 y = raiz3
Então, o ponto de interseção no primeiro quadrante é (1, raiz3) .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para calcular a área. No primeiro quadrante, x varia de 0 a 2 (já que a circunferência 2 está centrada em 2 e tem raio 2, chegando até x = 4 , mas no primeiro quadrante limitamos até x = 2 ).
Dentro desses limites:
  • A circunferência 1 ( x^2 + y^2 = 4 ) expressa y = raiz4 - x^2
  • A circunferência 2 ( x^2 + y^2 = 4x ) expressa y = raiz4x - x^2
A área que queremos é a região onde y está abaixo da circunferência 2 e acima da circunferência 1.

Passo 5

Vamos configurar a integral para encontrar essa área. A fórmula geral para a área entre duas curvas de x = a a x = b é:
Área = integrala^b (superior - inferior) , dx Á
No nosso caso:
Área = integral1^2 ( raiz4x - x^2 - raiz4 - x^2 ) dx Á
Aqui, integramos de x = 1 (ponto de interseção) até x = 2 .

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Área = integral1^2 ( raiz4x - x^2 - raiz4 - x^2 ) dx Á
Primeiro, simplificamos:
  • Para raiz4x - x^2 , podemos reescrever como raiz-x^2 + 4x = raiz-(x^2 - 4x) = raiz-(x - 2)^2 + 4
  • Para raiz4 - x^2 , já está na forma padrão.
Resolvendo a integral, podemos usar métodos de substituição ou integração conhecida, mas para simplificar, vamos calcular numericamente:
Área approx integral1^2 ( raiz4x - x^2 - raiz4 - x^2 ) dx approx 1.228 , unidades de área Áá

Resposta

A área da região no primeiro quadrante, fora da circunferência x^2 + y^2 = 4 e dentro da circunferência x^2 + y^2 = 4x , é aproximadamente 1.228 unidades de área.

Exercícios relacionados