Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas do vértice, foco, equações do eixo e da diretriz e dizer para onde está a concavidade da parábola. Esboçar essa parábola: y^2-4 x+8=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola
y^2 - 4x + 8 = 0
e pede vértice, foco, equações do eixo e da diretriz e direção da concavidade. Para isso, vamos reescrever no formato canônico
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
onde (h,k) é o vértice e p determina foco, diretriz e concavidade.

Passo 2

Isolando x na equação dada:
y^2 - 4x + 8 = 0 Longrightarrow y^2 = 4x - 8 Longrightarrow y^2 = 4,(x - 2)
Comparando com (y - k)^2 = 4p,(x - h) temos
h = 2, k = 0, 4p = 4 ;Longrightarrow; p = 1

Passo 3

O vértice é
(h,k) = (2,0)

Passo 4

O foco, situado a uma distância p do vértice no sentido da concavidade (eixo horizontal), é
(h+p,;k) = (2+1,;0) = (3,0)

Passo 5

A diretriz é a reta vertical
x = h - p = 2 - 1 = 1,
e o eixo de simetria é a reta horizontal
y = k = 0

Passo 6

Como p = 1 > 0, a parábola abre para a direita. No esboço, marcamos o vértice em (2,0), o foco em (3,0), a diretriz x=1 à esquerda e desenhamos uma curva aberta para a direita sobre o eixo y=0.

Resposta

Vértice: (2,0)
Foco: (3,0)
Eixo de simetria: y=0
Diretriz: x=1
Concavidade: para a direita.

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