Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse: 4 x^2+3 y^2+32 x+24 y+64=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^2+3y^2+32x+24y+64=0
e pede centro, vértices, focos, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal, excentricidade e esboço. O conteúdo é elipse em forma geral; vamos completar quadrados para chegar à sua forma padrão.

Passo 2

Reescrevendo e completando quadrados em x e y:
4l(x^2+8xr)+3l(y^2+8yr)+64=0
4l((x+4)^2-16r)+3l((y+4)^2-16r)+64=0
4(x+4)^2-64+3(y+4)^2-48+64=0
4(x+4)^2+3(y+4)^2=48
Dividindo por 48, obtemos a forma padrão:
(x+4)^212+(y+4)^216=1

Passo 3

Da forma
(x+4)^2b^2+(y+4)^2a^2=1
vemos que a^2=16, b^2=12 e como a^2>b^2 o eixo maior é vertical.

Passo 4

Calculamos
a=raiz16=4, b=raiz12=2raiz3, c=raiza^2-b^2=raiz16-12=2,
excentricidade e=ca=24=tfrac12, distância focal=2c=4 â

Passo 5

Reunindo todas as informações:
Centro: (-4,-4)
Vértices (eixo maior): l(-4,-4pm4r)=(-4,0) e (-4,-8)
Co-vértices (eixo menor): l(-4pm2raiz3,-4r)
Focos: l(-4,-4pm2r)=(-4,-2) e (-4,-6)
Comprimento do eixo maior: 2a=8
Comprimento do eixo menor: 2b=4raiz3
Distância focal: 2c=4
Excentricidade: e=tfrac12
Esboço: centro em (-4,-4), vértices em (-4,0) e (-4,-8), co-vértices horizontais em (-4pm2raiz3,-4), traçando a curva elíptica que passa por esses pontos.

Resposta

Centro: (-4,-4)
Vértices: (-4,0), (-4,-8)
Co-vértices: l(-4pm2raiz3,-4r)
Focos: (-4,-2), (-4,-6)
Eixo maior: 8
Eixo menor: 4raiz3
Distância focal: 4
Excentricidade: tfrac12

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