Determinar a equação reduzida da parábola com foco F=(5,2) e diretriz x=7.

Passo 1

O enunciado dá o foco F=(5,2) e a diretriz x=7. O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, e a forma reduzida de uma parábola de eixo paralelo ao eixo x.

Passo 2

Para encontrar o vértice, note que ele fica no ponto médio, ao longo do eixo de simetria, entre o foco e a diretriz. Como a diretriz é vertical, o eixo é horizontal, logo
xV = 5 + 72 = 6,
e mantemos yV = 2. Assim o vértice é V=(6,2). A distância p entre vértice e foco (ou entre vértice e diretriz) é
p = |5 - 6| = 1

Passo 3

O foco está à esquerda da diretriz ( 5<7), portanto a parábola abre para a esquerda. A forma reduzida de uma parábola com vértice (h,k) e parâmetro p>0 que abre para a esquerda é
(y - k)^2 = -4p,(x - h)
Aqui h=6, k=2 e p=1, então
(y - 2)^2 = -4 ,(x - 6)

Passo 4

Podemos checar: o foco dessa equação é (h-p,k)=(6-1,2)=(5,2) e a diretriz é x = h+p = 6+1 = 7, batendo com os dados do enunciado.

Resposta

(y - 2)^2 = -4,(x - 6)

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