Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas do vértice, foco, equações do eixo e da diretriz e dizer para onde está a concavidade da parábola. Esboçar essa parábola: y^2+4 x+2 y-15=0.

Passo 1

O enunciado pede para a parábola dada por
y^2 + 4x + 2y - 15 = 0
encontrar vértice, foco, equação do eixo, equação da diretriz, concavidade e esboçar o gráfico. Vamos usar o método de completar quadrado para reescrever em forma padrão
(y - k)^2 = 4p,(x - h)
e daí extrair todos esses elementos.

Passo 2

Agrupando termos em y e isolando x:
y^2 + 2y + 4x - 15 = 0 Longrightarrow 4x = -,y^2 - 2y + 15
Agora complete o quadrado em y:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1,
logo
4x = -l[(y + 1)^2 - 1r] + 15 = -,(y + 1)^2 + 1 + 15 = -,(y + 1)^2 + 16
Dividindo por 4:
x = -tfrac14(y + 1)^2 + 4 Longrightarrow (y + 1)^2 = -4,(x - 4)

Passo 3

Na forma padrão (y - k)^2 = 4p,(x - h) temos
h = 4, k = -1, 4p = -4 ;Longrightarrow; p = -1
  • Vértice (h,k) = (4,,-1).
  • Foco (h + p,;k) = (4 - 1,; -1) = (3,,-1).
  • Diretriz x = h - p = 4 - (-1) = 5.
  • Eixo de simetria y = k, ou seja y = -1.
  • Como p<0, a parábola abre para a esquerda.

Passo 4

Para esboçar, marque o vértice V(4,-1) e alguns pontos simétricos: por exemplo para y+1=pm 2 (isto é y=1 ou y=-3) temos
(y+1)^2=4 ;Longrightarrow; x - 4 = -1 ;Longrightarrow; x = 3,
dando os pontos (3,1) e (3,-3). Trace a curva passando por esses pontos, abrindo-se para a esquerda em torno de y=-1.

Resposta

Vértice: (4,-1)
Foco: (3,-1)
Eixo: y=-1
Diretriz: x=5
Concavidade: para a esquerda
Esboço: parábola com vértice em (4,-1), abertura à esquerda, passando também por (3,1) e (3,-3).

Exercícios relacionados