O espaço vetorial é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3 e tem dimensão 4. Para mostrar que os quatro polinômios
formam uma base, basta provar que eles são linearmente independentes. Faremos isso escrevendo-os na base canônica e checando se a matriz de suas coordenadas tem determinante não nulo.
Passo 2
Escrevendo cada polinômio como vetor de coordenadas em relação à base , temos
Passo 3
Colocamos essas coordenadas como colunas na matriz :
Passo 4
A matriz M é triangular superior, logo o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(M) =1cdot 1cdot(-1)cdot(-1) =1neq 0
Passo 5
Como det(M)neq 0, as colunas de M (isto é, os vetores de coordenadas dos polinômios dados) são linearmente independentes. Em um espaço de dimensão 4, ter 4 vetores independentes implica que eles formam uma base de P3(R).
Resposta
Os polinômios
1, 1+t, 1-t^2, 1-t-t^2-t^3
formam uma base de P3(R) pois a matriz de suas coordenadas tem determinante igual a 1, diferente de zero.