Mostrar que os polinômios 1,1+t, 1-t^2 e 1-t-t^2-t^3 formam uma base de P3(R).

Passo 1

O espaço vetorial P3(R) é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3 e tem dimensão 4. Para mostrar que os quatro polinômios
1, 1+t, 1-t^2, 1-t-t^2-t^3
formam uma base, basta provar que eles são linearmente independentes. Faremos isso escrevendo-os na base canônica 1,t,t^2,t^3 e checando se a matriz de suas coordenadas tem determinante não nulo.

Passo 2

Escrevendo cada polinômio como vetor de coordenadas em relação à base 1,t,t^2,t^3, temos
p1=1longmapsto (1,0,0,0)^T,
p2=1+tlongmapsto (1,1,0,0)^T,
p3=1-t^2longmapsto (1,0,-1,0)^T,
p4=1-t-t^2-t^3longmapsto (1,-1,-1,-1)^T

Passo 3

Colocamos essas coordenadas como colunas na matriz M:
M = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & -1

Passo 4

A matriz M é triangular superior, logo o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(M) =1cdot 1cdot(-1)cdot(-1) =1neq 0

Passo 5

Como det(M)neq 0, as colunas de M (isto é, os vetores de coordenadas dos polinômios dados) são linearmente independentes. Em um espaço de dimensão 4, ter 4 vetores independentes implica que eles formam uma base de P3(R).

Resposta

Os polinômios
1, 1+t, 1-t^2, 1-t-t^2-t^3
formam uma base de P3(R) pois a matriz de suas coordenadas tem determinante igual a 1, diferente de zero.

Exercícios relacionados