Determinar a equação reduzida da parábola de vértice V=(3,-2), eixo y+2=0 e que passa pelo ponto P=(2,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma parábola cujo vértice é V=(3,-2), cujo eixo tem equação y+2=0 (ou seja, é paralelo ao eixo x), e que passa pelo ponto P=(2,2). Vamos usar o fato de que, quando o eixo é horizontal, a forma reduzida é
(y-k)^2=4p,(x-h),
onde (h,k) é o vértice e p é a distância focal.

Passo 2

Substituindo o vértice (h,k)=(3,-2) na forma padrão, obtemos
(y+2)^2=4p,(x-3)

Passo 3

Para encontrar p, usamos o ponto P=(2,2). Substituindo x=2 e y=2:
(2+2)^2=4p,(2-3) Longrightarrow 16 = 4pcdot(-1) Longrightarrow 16 = -4p Longrightarrow p = -4

Passo 4

Como p=-4 é negativo, a parábola abre para a esquerda. Substituindo p na equação geral:
(y+2)^2 = 4cdot(-4),(x-3) Longrightarrow (y+2)^2 = -16,(x-3)

Resposta

(y+2)^2 = -16,(x-3)

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