Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse: 9 x^2+5 y^2=45.

Passo 1

O enunciado pede as características de uma elipse dada por
9x^2+5y^2=45
O conteúdo envolve elipses em forma reduzida: precisamos obter o centro, colocar a equação na forma padrão, identificar a e b, e daí calcular vértices, focos, excentricidade, comprimentos dos eixos e distância focal.

Passo 2

Vamos dividir a equação por 45 para obter a forma padrão.
9x^2+5y^2=45 ;Longrightarrow; 9x^245+5y^245=1 ;Longrightarrow; x^25+y^29=1

Passo 3

Na forma
x^2b^2+y^2a^2=1,
o maior denominador é a^2=9 e o menor é b^2=5. Logo
a=3, b=raiz5
Como não há termos de x ou y isolados, o centro da elipse é
(0,0)

Passo 4

Os vértices ao longo do eixo maior (vertical) estão em
(0,pm a)=(0,3) e (0,-3),
e os vértices ao longo do eixo menor (horizontal) estão em
(pm b,0)=(pmraiz5,0)

Passo 5

A distância focal c satisfaz
c^2=a^2-b^2=9-5=4 ;Longrightarrow; c=2
Os focos estão no eixo y:
(0,pm c)=(0,2) e (0,-2)
A excentricidade é
e=ca=23

Passo 6

O comprimento do eixo maior é
2a=2cdot3=6,
do eixo menor é
2b=2raiz5,
e a distância focal (distância entre os dois focos) é
2c=2cdot2=4

Passo 7

Para esboçar a elipse, trace primeiro o retângulo de semi-eixos b em x e a em y, marque os vértices e os focos e desenhe a curva suave que tangencia cada lado desse retângulo, mais alongada no eixo y.

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices do eixo maior: (0,3), (0,-3)
Vértices do eixo menor: (raiz5,0), (-raiz5,0)
Focos: (0,2), (0,-2)
Comprimento do eixo maior: 6
Comprimento do eixo menor: 2raiz5
Distância focal: 4
Excentricidade: tfrac23

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