A uma elipse de excentricidade 13, circunscreve-se um retângulo de lados paralelos aos eixos dessa elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo que seu perímetro é 8(3+2 raiz2).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma elipse de excentricidade tfrac13 e que em torno dela é inscrito um retângulo de lados paralelos aos eixos da elipse. O perímetro desse retângulo é
8l(3+2raiz2r)
Precisamos usar as relações entre os semi-eixos a,b e a excentricidade, além da fórmula do perímetro e da área do retângulo.

Passo 2

Para uma elipse com semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e excentricidade e vale
e^2 = 1 - b^2a^2
Com e=tfrac13 temos
19 = 1 - b^2a^2 Longrightarrow b^2a^2 = 1 - 19 = 89 Longrightarrow b = a,2raiz23

Passo 3

O retângulo circunscrito tem largura 2a e altura 2b, logo o perímetro é
P = 2l(2a + 2br) = 4l(a + br)
Como P = 8(3+2raiz2), divide–se por 2 para obter
2l(a + br) = 4(3+2raiz2) Longrightarrow a + b = 6 + 4raiz2

Passo 4

Substituindo b = a2raiz23 em a + b = 6 + 4raiz2
a + a,2raiz23 = 6 + 4raiz2 Longrightarrow al(1 + 2raiz23r) = 6 + 4raiz2
Note que 1 + tfrac2raiz23 = tfrac3+2raiz23, então
a = 6 + 4raiz2tfrac3+2raiz23 = (6 + 4raiz2),33+2raiz2 = 18 + 12raiz23+2raiz2
Racionalizando o denominador (3-2raiz2) obtém-se a=6.

Passo 5

Logo
b = a,2raiz23 = 6cdot2raiz23 = 4raiz2

Passo 6

O retângulo tem lado maior 2a = 12 e lado menor 2b = 8raiz2. A área é
Área = (2a),(2b) = 12cdot 8raiz2 = 96raiz2 Á

Resposta

A área do retângulo é 96raiz2.

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