A uma elipse de excentricidade
, circunscreve-se um retângulo de lados paralelos aos eixos dessa elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo que seu perímetro é
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma elipse de excentricidade
e que em torno dela é inscrito um retângulo de lados paralelos aos eixos da elipse. O perímetro desse retângulo é
Precisamos usar as relações entre os semi-eixos
e a excentricidade, além da fórmula do perímetro e da área do retângulo.
Passo 2
Para uma elipse com semi-eixo maior
, semi-eixo menor
e excentricidade
vale
Com
temos
Passo 3
O retângulo circunscrito tem largura
e altura
, logo o perímetro é
Como
, divide–se por 2 para obter
Passo 4
Substituindo
em
dá
Note que
, então
Racionalizando o denominador
obtém-se
.
Passo 5
Logo
Passo 6
O retângulo tem lado maior
e lado menor
. A área é
Resposta
A área do retângulo é
.