Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse: 4 x^2+9 y^2-48 x+72 y+144=0.

Passo 1

O enunciado pede as características completas de uma elipse dada pela equação
4x^2+9y^2-48x+72y+144=0
O que vamos usar: completar quadrados para obter a forma padrão de elipse
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1,
e daí extrair centro (h,k), eixos, vértices, focos, distância focal e excentricidade.

Passo 2

Agrupamos e completamos quadrados em x e y:
4l(x^2-12xr)+9l(y^2+8yr)+144=0
Complete em x:
x^2-12x=(x-6)^2-36,
e em y:
y^2+8y=(y+4)^2-16
Substituindo:
4l[(x-6)^2-36r]+9l[(y+4)^2-16r]+144=0
4(x-6)^2-144+9(y+4)^2-144+144=0
4(x-6)^2+9(y+4)^2=144
Dividindo por 144:
(x-6)^236+(y+4)^216=1

Passo 3

Da forma padrão
(x-6)^26^2+(y+4)^24^2=1
vemos que
h=6, k=-4 (centro (6,-4)),
a^2=36, b^2=16.
Como a>b, o eixo maior é horizontal de semi-comprimento a=6.

Passo 4

Vértices do eixo maior (horizontais):
(6pm a,,-4)=(6pm 6,,-4);Longrightarrow;(12,-4) e (0,-4)
Vértices do eixo menor (verticais):
(6,,-4pm b)=(6,,-4pm 4);Longrightarrow;(6,0) e (6,-8)

Passo 5

Distância focal a partir do centro:
c^2=a^2-b^2=36-16=20, c=raiz20=2raiz5
Focos (horizontais):
(6pm c,,-4)=(6pm2raiz5,,-4)

Passo 6

Comprimento do eixo maior:
2a=2cdot6=12
Comprimento do eixo menor:
2b=2cdot4=8
Distância entre os focos (distância focal):
2c=4raiz5
Excentricidade:
e=ca=2raiz56=raiz53

Resposta

Centro: (6,-4)
Vértices maiores: (12,-4) e (0,-4)
Vértices menores: (6,0) e (6,-8)
Focos: l(6pm2raiz5,,-4r)
Comprimento do eixo maior: 12
Comprimento do eixo menor: 8
Distância focal: 4raiz5
Excentricidade: dfracraiz53
Esboço: retângulo auxiliar centrado em (6,-4) com semi-eixos 6 horizontal e 4 vertical; a elipse passa pelos vértices e é simétrica em relação ao centro.

Exercícios relacionados