Determinar a equação da elipse de excentricidade 35, cujos focos são pontos da reta y=1 e sendo B=(-2,9) um dos extremos do seu eixo menor.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a equação de uma elipse de excentricidade e=35, cujos focos estão sobre a reta y=1 e que tem B=(-2,9) como extremo do eixo menor. Vamos usar a geometria da elipse, em que, com centro (h,k), temos
e=ca, b^2=a^2-c^2,
além de saber que, se os focos estão sobre y=1, o eixo maior é horizontal e k=1.

Passo 2

Como os focos estão sobre a reta y=1, o eixo maior é paralelo ao eixo x. Logo o centro tem a forma (h,1) e os focos são
F1=(h-c,1), F2=(h+c,1)

Passo 3

O ponto B=(-2,9) é um extremo do eixo menor, que é vertical e tem coordenadas (h,1pm b). Comparando com B, vemos que
h=-2, 1+b=9;Rightarrow;b=8

Passo 4

Da definição de excentricidade, c=35a. E da relação entre semi-eixos,
b^2=a^2-c^2 ;Rightarrow; 64=a^2-l(35ar)^2 =a^2-9a^225 =16a^225
Dessa forma,
16a^225=64 ;Rightarrow; a^2=100 ;Rightarrow; a=10, c=35cdot10=6

Passo 5

Com centro em (-2,1), semi-eixos a=10 (horizontal) e b=8 (vertical), a equação da elipse é
(x+2)^2100+(y-1)^264=1

Resposta

(x+2)^2100+(y-1)^264=1

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