Determinar a equação reduzida da hipérbole com vértices A1=(-3,-4) e A2=(-3,4), sendo que a hipérbole é equilátera.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole equilátera (isto é, com a=b) cujos vértices são
A1=(-3,-4) e A2=(-3,4)
Para resolver, vamos encontrar o centro, identificar a direção do eixo transverso, determinar a e, finalmente, montar a forma padrão da hipérbole.

Passo 2

O centro (h,k) é o ponto médio de A1 e A2. Calculamos
h = -3 + (-3)2 = -3, k = -4 + 42 = 0
Logo, o centro é l(-3,0r).

Passo 3

Como ambos os vértices têm abscissa -3, o eixo transverso é vertical. Para uma hipérbole equilátera com eixo transverso vertical centrada em (h,k), a forma padrão é
(y-k)^2a^2 ;-;(x-h)^2a^2 ;=;1

Passo 4

O valor de a é a distância do centro a cada vértice ao longo do eixo vertical. Como os vértices têm ordenadas -4 e 4 e o centro está em k=0, temos
a = |4-0| = 4

Passo 5

Substituindo h=-3, k=0 e a=4 na forma padrão, obtemos
(y-0)^24^2 ;-;(x+3)^24^2 = 1,
ou seja
y^216 ;-;(x+3)^216 = 1

Resposta

y^216 ;-;(x+3)^216 = 1

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