Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos real e imaginário, distância focal, excentricidade e equações das assíntotas. Esboçar essa hipérbole:
.
Passo 1
O enunciado pede todos os elementos geométricos de uma hipérbole dada por
Isso envolve completar o quadrado para pôr na forma padrão, encontrar centro, coeficientes
,
, calcular
,
,
, a excentricidade
, vértices, focos, distância focal, e assíntotas. Depois a gente esboça o gráfico sabendo onde ela abre.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
:
Substituindo em
dá
Dividindo por
obtemos a forma padrão
Passo 3
Na forma
temos:
é o centro,
,
.
E a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverso vertical).
O valor de
E a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverso vertical).
O valor de
e a excentricidade
Passo 4
Os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
Os focos ficam a uma distância
do centro no mesmo eixo:
A distância focal (entre os dois focos) é
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole na forma vertical são
Aqui
,
,
, então
Os comprimentos dos eixos são:
eixo real (transverso) ,
eixo imaginário (conjugado) .
eixo real (transverso)
eixo imaginário (conjugado)
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
Distância focal:
Comprimento do eixo real:
Comprimento do eixo imaginário:
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Distância focal:
Comprimento do eixo real:
Comprimento do eixo imaginário:
Assíntotas: