Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos real e imaginário, distância focal, excentricidade e equações das assíntotas. Esboçar essa hipérbole: x^2-y^2+6 x+25=0.

Passo 1

O enunciado pede todos os elementos geométricos de uma hipérbole dada por
x^2-y^2+6x+25=0
Isso envolve completar o quadrado para pôr na forma padrão, encontrar centro, coeficientes a^2, b^2, calcular a, b, c, a excentricidade e, vértices, focos, distância focal, e assíntotas. Depois a gente esboça o gráfico sabendo onde ela abre.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
x^2+6x = (x+3)^2 - 9
Substituindo em x^2-y^2+6x+25=0
(x+3)^2 - 9 ;-; y^2 ;+;25 = 0 Longrightarrow (x+3)^2 - y^2 +16 = 0
Longrightarrow (x+3)^2 - y^2 = -16 Longrightarrow y^2 - (x+3)^2 = 16
Dividindo por 16 obtemos a forma padrão
y^216 ;-;(x+3)^216 ;=;1

Passo 3

Na forma
(y-k)^2a^2 - (x-h)^2b^2 = 1
temos:
(h,k)=(-3,0) é o centro,
a^2=16implies a=4,
b^2=16implies b=4.
E a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverso vertical).
O valor de
c = raiza^2+b^2 = raiz16+16 = 4raiz2,
e a excentricidade
e = ca = 4raiz24 = raiz2

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo y:
V1=(-3,,0+4)=(-3,4), V2=(-3,,0-4)=(-3,-4)
Os focos ficam a uma distância c do centro no mesmo eixo:
F1=(-3,,0+4raiz2) = (-3,,4raiz2), F2=(-3,,0-4raiz2) = (-3,,-4raiz2)
A distância focal (entre os dois focos) é
2c = 8raiz2

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma vertical são
y - k = pmab,(x - h)
Aqui ab=1, h=-3, k=0, então
y = pm (x+3)
Os comprimentos dos eixos são:
eixo real (transverso) =2a=8,
eixo imaginário (conjugado) =2b=8.

Resposta

Centro: (-3,0)
Vértices: (-3,4) e (-3,-4)
Focos: (-3,4raiz2) e (-3,-4raiz2)
Excentricidade: raiz2
Distância focal: 8raiz2
Comprimento do eixo real: 8
Comprimento do eixo imaginário: 8
Assíntotas:
y = x+3, y = -x-3

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