Determinar a equação da hipérbole cujas assíntotas são m: 2 x-y-1=0 e n: 2 x+y-3=0, sabendo que seu eixo real é horizontal e que ela passa pelo ponto P=(4,6).

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole com eixo real horizontal, cujas assíntotas são
m:2x - y - 1 = 0 e n:2x + y - 3 = 0
e que passe por P=(4,6).
Para resolver, vamos:
  1. Encontrar o centro como interseção das assíntotas.
  2. Extrair a razão das inclinações das assíntotas para relacionar a e b.
  3. Escrever a forma padrão da hipérbole e usar P para determinar a (e b).

Passo 2

O centro
somando as duas equações dá . Substituindo em vem .
Portanto .

Passo 3

Como o eixo real é horizontal, a forma padrão é
(x-1)^2a^2 ;-;(y-1)^2b^2 ;=;1
As assíntotas dessa hipérbole são
y - 1 = pmba,(x-1)
Comparando com as dadas, cujas inclinações são pm2, concluímos
ba = 2 Longrightarrow b = 2a Longrightarrow b^2 = 4a^2

Passo 4

Agora usamos o fato de que P=(4,6) pertence à hipérbole. Substituindo em
(x-1)^2a^2 - (y-1)^24a^2 = 1
com x=4 e y=6, vem
(4-1)^2a^2 ;-;(6-1)^24a^2 ;=;1 Longrightarrow 9a^2 - 254a^2 = 1
Multiplicando por 4a^2
36 - 25 = 4a^2 Longrightarrow 4a^2 = 11 Longrightarrow a^2 = 114, b^2 = 4a^2 = 11

Passo 5

Com a^2=tfrac114 e b^2=11, a hipérbole fica
(x-1)^2tfrac114 ;-; (y-1)^211 ;=;1

Resposta

boxed(x-1)^2tfrac114 ;-; (y-1)^211 = 1

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