Seja uma elipse de centro na origem, com distância focal 8 e com eixo maior paralelo ao eixo x medindo 12. Considere uma parábola que tem por diretriz a reta que contém o eixo menor da elipse e por foco, o foco da elipse que está a direita do centro dela. Determinar a equação reduzida dessa parábola.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse de centro na origem cujos dados são: distância focal 2c=8 e eixo maior de comprimento 2a=12, paralelo ao eixo x. Pede-se a parábola cuja diretriz é a reta que contém o eixo menor da elipse e cujo foco é o foco direito da elipse.

Passo 2

Calcular os parâmetros da elipse.
Temos
2a = 12 implies a = 6,
2c = 8 implies c = 4
Como b^2 = a^2 - c^2, vem
b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20,
logo b = raiz20.

Passo 3

Identificar foco e diretriz da parábola.
O foco direito da elipse é o ponto
F = (c,0) = (4,0)
O eixo menor da elipse é a reta vertical que passa pelo centro, ou seja, a reta
x = 0
Essa reta será a diretriz da parábola.

Passo 4

Determinar a equação da parábola.
Para uma parábola com foco F=(4,0) e diretriz x=0, o vértice V fica no ponto médio entre foco e diretriz ao longo da horizontal:
Vl(tfrac4+02,0r) = (2,0)
A distância focal p é a distância de V a F:
p = 4 - 2 = 2
Como o eixo é horizontal e o foco está à direita da diretriz, a forma reduzida é
(y - 0)^2 = 4p,(x - 2) Longrightarrow y^2 = 8(x - 2)

Resposta

y^2 = 8(x - 2)

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