Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos real e imaginário, distância focal, excentricidade e equações das assíntotas. Esboçar essa hipérbole:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a hipérbole
e pede centro, vértices, focos, comprimentos dos eixos real e imaginário, distância focal, excentricidade e assíntotas, além de esboçar o gráfico. Vamos primeiro completar quadrados para levá-la à forma canónica.
Passo 2
Agrupando termos em
e
e completando quadrados:
Passo 3
Isolando e dividindo por
:
Dessa forma canónica vemos que o centro é
com
e
. A hipérbole tem eixo transverso vertical.
Passo 4
Vértices: no eixo vertical, a uma distância
acima e abaixo do centro, logo
Focos: calculamos
via
de modo que
Passo 5
Comprimento do eixo real (transverso):
Comprimento do eixo imaginário (conjugado):
Distância focal (separação entre focos):
Excentricidade:
Passo 6
Assíntotas: para
com eixo vertical,
Passo 7
Esboço qualitativo:
— Centro em .
— Ramos abertos para cima (passando por ) e para baixo (por
).
— Assíntotas cruzam no centro com inclinação .
— Focos dentro dos ramos em e
.
— Centro em
— Ramos abertos para cima (passando por
— Assíntotas cruzam no centro com inclinação
— Focos dentro dos ramos em
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Comprimento do eixo real:
Comprimento do eixo imaginário:
Distância focal:
Excentricidade:
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Comprimento do eixo real:
Comprimento do eixo imaginário:
Distância focal:
Excentricidade:
Assíntotas: