Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos real e imaginário, distância focal, excentricidade e equações das assíntotas. Esboçar essa hipérbole: 16 x^2-9 y^2-64 x-18 y+199=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole
16x^2-9y^2-64x-18y+199=0
e pede centro, vértices, focos, comprimentos dos eixos real e imaginário, distância focal, excentricidade e assíntotas, além de esboçar o gráfico. Vamos primeiro completar quadrados para levá-la à forma canónica.

Passo 2

Agrupando termos em x e y e completando quadrados:
16(x^2-4x)-9(y^2+2y)+199=0
16l((x-2)^2-4r)-9l((y+1)^2-1r)+199=0
16(x-2)^2-64-9(y+1)^2+9+199=0
16(x-2)^2-9(y+1)^2+144=0

Passo 3

Isolando e dividindo por 144:
16(x-2)^2-9(y+1)^2=-144 Long<=ftrightarrow 9(y+1)^2-16(x-2)^2=144
Long<=ftrightarrow (y+1)^216-(x-2)^29=1
Dessa forma canónica vemos que o centro é
(h,k)=(2,,-1),
com a^2=16 e b^2=9. A hipérbole tem eixo transverso vertical.

Passo 4

Vértices: no eixo vertical, a uma distância a=4 acima e abaixo do centro, logo
V1=(2,,-1+4)=(2,3), V2=(2,,-1-4)=(2,-5)
Focos: calculamos c via
c^2=a^2+b^2=16+9=25, c=5,
de modo que
F1=(2,,-1+5)=(2,4), F2=(2,,-1-5)=(2,-6)

Passo 5

Comprimento do eixo real (transverso):
2a=2cdot4=8
Comprimento do eixo imaginário (conjugado):
2b=2cdot3=6
Distância focal (separação entre focos):
2c=2cdot5=10
Excentricidade:
e=ca=54=1,25

Passo 6

Assíntotas: para (y+1)^2a^2-(x-2)^2b^2=1 com eixo vertical,
y+1=pmab,(x-2) Long<=ftrightarrow y+1=pm43(x-2)

Passo 7

Esboço qualitativo:
— Centro em (2,-1).
— Ramos abertos para cima (passando por V1=(2,3)) e para baixo (por V2=(2,-5)).
— Assíntotas cruzam no centro com inclinação pm4/3.
— Focos dentro dos ramos em (2,4) e (2,-6).

Resposta

Centro: (2,-1)
Vértices: (2,3) e (2,-5)
Focos: (2,4) e (2,-6)
a=4,;b=3,;c=5
Comprimento do eixo real: 8
Comprimento do eixo imaginário: 6
Distância focal: 10
Excentricidade: e=5/4
Assíntotas:
y+1=43(x-2), y+1=-43(x-2)

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