Determinar a equação reduzida da parábola com foco F=(3,-1) e diretriz 2 x-1=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da parábola com foco F=(3,-1) e diretriz 2x-1=0. O conteúdo é a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, e precisaremos usar a fórmula da distância ponto-reta e da distância euclidiana entre dois pontos.

Passo 2

Seja (x,y) um ponto genérico da parábola. A distância até o foco é
raiz(x-3)^2+(y+1)^2
A distância até a diretriz 2x-1=0 é
l|2x-1r|raiz2^2+0^2=l|2x-1r|2
Como o foco (3,-1) está à direita da reta x=tfrac12, a parábola abre para a direita e, para seus pontos, 2x-1>0. Logo l|2x-1r|=2x-1 e a condição de igualdade de distâncias fica
raiz(x-3)^2+(y+1)^2=2x-12

Passo 3

Elevando ao quadrado e simplificando:
(x-3)^2+(y+1)^2=(2x-1)^24
4(x-3)^2+4(y+1)^2=(2x-1)^2
4x^2-24x+36+4y^2+8y+4=4x^2-4x+1
-24x+4y^2+8y+40=-4x+1
20x-4y^2-8y-39=0

Passo 4

Para obter a forma reduzida, isolamos x:
20x=4y^2+8y+39
x=4y^2+8y+3920
Agora completamos o quadrado em y:
4y^2+8y+39=4(y+1)^2+35,
de modo que
x=4(y+1)^2+3520 =15(y+1)^2+74
Em forma padrão (y-k)^2=4p(x-h), com vértice l(tfrac74,-1r) e parâmetro p=tfrac54, obtemos
(y+1)^2=5l(x-tfrac74r)

Resposta

(y+1)^2=5l(x-tfrac74r)

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