Determinar a equação reduzida da parábola com foco e diretriz .
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida da parábola com foco e diretriz . O conteúdo é a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, e precisaremos usar a fórmula da distância ponto-reta e da distância euclidiana entre dois pontos.
Passo 2
Seja um ponto genérico da parábola. A distância até o foco é
A distância até a diretriz é
Como o foco (3,-1) está à direita da reta x=tfrac12, a parábola abre para a direita e, para seus pontos, 2x-1>0. Logo l|2x-1r|=2x-1 e a condição de igualdade de distâncias fica
raiz(x-3)^2+(y+1)^2=2x-12
Passo 3
Elevando ao quadrado e simplificando:
(x-3)^2+(y+1)^2=(2x-1)^24
4(x-3)^2+4(y+1)^2=(2x-1)^2
4x^2-24x+36+4y^2+8y+4=4x^2-4x+1
-24x+4y^2+8y+40=-4x+1
20x-4y^2-8y-39=0
Passo 4
Para obter a forma reduzida, isolamos x:
20x=4y^2+8y+39
x=4y^2+8y+3920
Agora completamos o quadrado em y:
4y^2+8y+39=4(y+1)^2+35,
de modo que
x=4(y+1)^2+3520 =15(y+1)^2+74
Em forma padrão (y-k)^2=4p(x-h), com vértice l(tfrac74,-1r) e parâmetro p=tfrac54, obtemos