Determinar a equação da hipérbole cujas assíntotas são m: 3 x-4 y+16=0 e n: 3 x+4 y-16=0, sabendo que seu eixo real é vertical e que ela passa pelo ponto P=(163, 9).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujo eixo real é vertical, que passa por P=l(tfrac163,9r) e cujas assíntotas são
m:3x-4y+16=0 e n:3x+4y-16=0
Vamos usar o fato de que, para uma hipérbole centrada em (h,k) com eixo vertical, a forma canônica é
(y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1
e que suas assíntotas são
y-k=pmab(x-h)

Passo 2

Encontrar o centro
somamos as duas equações e obtemos vem .
Logo o centro é .

Passo 3

Determinar a inclinação das assíntotas.
Da equação 3x-4y+16=0 isolamos y=tfrac34x+4 e da outra y=-tfrac34x+4.
Assim as inclinações são pm34, e pela forma canônica vertical temos
ab=34 Longrightarrow a=34,b

Passo 4

Escrever a equação geral com centro (0,4) e relações entre a e b:
(y-4)^2a^2-x^2b^2=1, a^2=916b^2

Passo 5

Impor que P=l(tfrac163,9r) pertence à hipérbole:
(9-4)^2a^2-l(tfrac163r)^2b^2=1 Longrightarrow 25a^2-256/9b^2=1
Substituindo a^2=tfrac916b^2, fica
25tfrac916b^2-2569b^2=1 ;Longrightarrow; 4009b^2-2569b^2=1 ;Longrightarrow; 1449b^2=1 ;Longrightarrow; b^2=16,
e então a^2=tfrac916cdot16=9.

Resposta

(y-4)^29-x^216=1

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