Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse: 16 x^2+25 y^2+32 x-100 y-284=0.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre todas as características de uma elipse descrita pela equação geral
16x^2 + 25y^2 + 32x - 100y - 284 = 0
Esses dados são: centro, vértices, focos, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Para isso vamos usar o método de completar quadrados para passar a elipse para a forma padrão.

Passo 2

Primeiro, agrupamos termos de x e de y e completamos os quadrados.
16x^2 + 32x = 16l(x^2 + 2xr) = 16l((x+1)^2 - 1r) = 16(x+1)^2 - 16
25y^2 - 100y = 25l(y^2 - 4yr) = 25l((y-2)^2 - 4r) = 25(y-2)^2 - 100
Substituindo na equação original:
16(x+1)^2 - 16 ;+; 25(y-2)^2 - 100 ;-; 284 ;=; 0
16(x+1)^2 + 25(y-2)^2 = 16 + 100 + 284 = 400
Dividindo tudo por 400, obtemos a forma padrão:
(x+1)^225 ;+; (y-2)^216 = 1

Passo 3

Da forma
(x+1)^2a^2 + (y-2)^2b^2 = 1
vemos que a^2=25, b^2=16. Como a^2>b^2, o eixo maior é horizontal. Logo
a = 5, b = 4
O centro da elipse é o ponto que anula ambos os parênteses, ou seja
l(-1,,2r)

Passo 4

Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo maior (horizontal):
l(-1 pm 5,;2r)
Portanto:
(4,,2) e (-6,,2)
Os vértices menores (pontos de extremidade do eixo menor, vertical) estão a uma distância b do centro:
l(-1,;2 pm 4r)
Logo:
(-1,,6) e (-1,,-2)

Passo 5

Para achar os focos usamos
c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9
c = 3
Como a elipse é horizontal, os focos ficam em
l(-1 pm 3,;2r)
Isto é:
(2,,2) e (-4,,2)

Passo 6

Os comprimentos dos eixos são:
eixo maior = 2a = 10, eixo menor = 2b = 8
A distância focal (distância entre os dois focos) é
2c = 6
A excentricidade é
e = ca = 35 = 0,6

Passo 7

Para esboçar a elipse basta marcar no plano o centro (-1,2), os vértices em (4,2), (-6,2), (-1,6), (-1,-2) e desenhar uma curva fechada que passe por esses pontos, alongada horizontalmente, com focos em (2,2) e (-4,2).

Resposta

Centro: (-1,,2)
Vértices maiores: (4,,2) e (-6,,2)
Vértices menores: (-1,,6) e (-1,,-2)
Focos: (2,,2) e (-4,,2)
Comprimento do eixo maior: 10
Comprimento do eixo menor: 8
Distância focal: 6
Excentricidade: 0,6

Exercícios relacionados