Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre todas as características de uma elipse descrita pela equação geral
Esses dados são: centro, vértices, focos, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Para isso vamos usar o método de completar quadrados para passar a elipse para a forma padrão.
Passo 2
Primeiro, agrupamos termos de
e de
e completamos os quadrados.
Substituindo na equação original:
Dividindo tudo por
, obtemos a forma padrão:
Passo 3
Da forma
vemos que
,
. Como
, o eixo maior é horizontal. Logo
O centro da elipse é o ponto que anula ambos os parênteses, ou seja
Passo 4
Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (horizontal):
Portanto:
Os vértices menores (pontos de extremidade do eixo menor, vertical) estão a uma distância
do centro:
Logo:
Passo 5
Para achar os focos usamos
Como a elipse é horizontal, os focos ficam em
Isto é:
Passo 6
Os comprimentos dos eixos são:
A distância focal (distância entre os dois focos) é
A excentricidade é
Passo 7
Para esboçar a elipse basta marcar no plano o centro
, os vértices em
,
,
,
e desenhar uma curva fechada que passe por esses pontos, alongada horizontalmente, com focos em
e
.
Resposta
Centro:
Vértices maiores: e
Vértices menores: e
Focos: e
Comprimento do eixo maior:
Comprimento do eixo menor:
Distância focal:
Excentricidade:
Vértices maiores:
Vértices menores:
Focos:
Comprimento do eixo maior:
Comprimento do eixo menor:
Distância focal:
Excentricidade: