Uma elipse é tangente ao eixo x no ponto A=(3,0) e ao eixo y no ponto B=(0,-4). Determinar a equação reduzida dessa elipse, sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.

Passo 1

Resumindo, queremos a equação reduzida de uma elipse cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados, tangente ao eixo x em A=(3,0) e ao eixo y em B=(0,-4). A forma canônica é
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1
Vamos determinar h,k,a,b usando as condições de tangência e de pertencimento dos pontos.

Passo 2

A condição de tangência ao eixo x em A=(3,0) significa que a reta y=0 é tangente à elipse em A. Se definirmos
F(x,y)=(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2-1,
o vetor nabla F é normal à curva. Para que a reta y=0 seja tangente, nabla F(3,0) deve ser vertical, isto é,
partial Fpartial x(3,0) =2,3-ha^2 =0 Longrightarrow h=3
Analogamente, a tangência ao eixo y em B=(0,-4) (reta x=0 tangente) exige
partial Fpartial y(0,-4) =2,-4-kb^2 =0 Longrightarrow k=-4

Passo 3

Agora A e B estão na elipse. Substituindo em (x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1:
Para A=(3,0):
(3-3)^2a^2+(0+4)^2b^2=1 Longrightarrow 16b^2=1 Longrightarrow b^2=16
Para B=(0,-4):
(0-3)^2a^2+(-4+4)^2b^2=1 Longrightarrow 9a^2=1 Longrightarrow a^2=9

Passo 4

Com h=3, k=-4, a^2=9 e b^2=16, a equação reduzida é
(x-3)^29+(y+4)^216=1

Resposta

(x-3)^29+(y+4)^216=1

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