Determinar a equação reduzida da hipérbole de focos F1=(3,4) e F2=(3,2) e excentricidade e=2.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole cujos focos são (3,4) e (3,2) e cuja excentricidade é e=2.
O conteúdo aqui é a forma padrão da hipérbole centrada em (x0,y0) com eixo transverso vertical e a relação
e = ca,
além de
c^2 = a^2 + b^2

Passo 2

Como os focos têm a mesma abscissa x=3, o eixo transverso é vertical. O centro (x0,y0) é o ponto médio dos focos:
x0 = 3, y0 = 4+22 = 3
A distância do centro a cada foco é
c = raiz(3-3)^2 + (4-3)^2 = 1

Passo 3

Pela definição de excentricidade,
e = ca Longrightarrow a = ce = 12,
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a^2 = 14

Passo 4

Usando c^2 = a^2 + b^2, obtemos
b^2 = c^2 - a^2 = 1 - 14 = 34

Passo 5

Para hipérbole de eixo transverso vertical centrada em (3,3), a forma reduzida em coordenadas l(u=x-3,;v=y-3r) é
v^2a^2 ;-;u^2b^2 ;=;1
Voltando a (x,y),
(y-3)^2tfrac14;-;(x-3)^2tfrac34 ;=;1

Resposta

(y-3)^2tfrac14 ;-;(x-3)^2tfrac34 = 1

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