O centro de uma hipérbole é a origem e seu eixo real está contido no eixo y. Determinas sua equação reduzida, sabendo que seus vértices são A1=(0,2) e A2=(0,-2) e que suas assíntotas são m: 4 y=x e n: 4 y=-x.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma hipérbole com centro na origem cujo eixo real está no eixo y, isto é, ela abre para cima e para baixo. Os vértices são A1=(0,2) e A2=(0,-2) e as assíntotas são as retas m:4y=x e n:4y=-x. Vamos usar a forma reduzida da hipérbole vertical e a relação entre seus parâmetros a, b e as inclinações das assíntotas.

Passo 2

Para uma hipérbole vertical centrada na origem a equação reduzida é
y^2a^2;-;x^2b^2;=;1
Aqui a é a distância do centro a cada vértice ao longo do eixo y.

Passo 3

Como os vértices são (0,2) e (0,-2), a distância do centro (0,0) até cada vértice é
a = 2 Longrightarrow a^2 = 4

Passo 4

As assíntotas dessa hipérbole têm equações
y = pm ab,x
As dadas são y = pm tfrac14x, logo
ab = 14 e como (a=2), segue b = 8 Longrightarrow b^2 = 64

Passo 5

Substituindo a^2=4 e b^2=64 na forma reduzida obtemos a equação da hipérbole:
y^24;-;x^264;=;1

Resposta

y^24 - x^264 = 1

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