Determinar a equação reduzida da hipérbole com C=(0,0), eixo real horizontal, distância focal 6 e excentricidade e=32.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da hipérbole centrada em (0,0), com eixo real horizontal, distância focal igual a 6 e excentricidade e=tfrac32. Para resolver, vamos usar as definições principais de uma hipérbole:
  • A distância focal é 2c.
  • A excentricidade é e = tfracca.
  • Para hipérbole com eixo real horizontal vale c^2 = a^2 + b^2.

Passo 2

Como a distância focal é 2c=6, obtemos
c = 62 = 3

Passo 3

Da definição de excentricidade e = ca, com e=tfrac32 e c=3, temos
32 = 3a Longrightarrow a = 3tfrac32 = 2

Passo 4

Usando a relação c^2 = a^2 + b^2 para hipérboles horizontais, substituímos c=3 e a=2:
9 = 4 + b^2 Longrightarrow b^2 = 5

Passo 5

A equação reduzida da hipérbole com eixo real horizontal é
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Substituindo a^2=4 e b^2=5, obtemos
x^24 - y^25 = 1

Resposta

x^24 - y^25 = 1

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