Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse: 4 x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da elipse 4x^2 + y^2 = 1. O conteúdo necessário é reconhecer a forma padrão de uma elipse, identificar semieixos, excentricidade, elementos geométricos (vértices, focos, eixos, centro) e esboçar a curva.

Passo 2

Colocamos na forma padrão dividindo ambos os lados por 1:
x^2tfrac14 + y^21 = 1
Os denominadores são tfrac14 e 1. O maior é 1, associado a y^2, logo semieixo maior a = 1 ao longo do eixo y e semieixo menor b = tfrac12 ao longo do eixo x.

Passo 3

Como não há termos de translação, o centro da elipse é
(x0,y0) = (0,0)

Passo 4

Os vértices estão a distância a do centro sobre o eixo maior:
(0,pm a) = (0,pm1)
Os co-vértices estão a distância b sobre o eixo menor:
(pm b,0) = l(pmtfrac12,0r)

Passo 5

A distância focal c satisfaz
c^2 = a^2 - b^2 = 1 - tfrac14 = tfrac34, c = tfracraiz32
Portanto os focos são
l(0,pm cr) = l(0,pmtfracraiz32r)

Passo 6

A excentricidade é
e = ca = tfracraiz321 = tfracraiz32
O comprimento do eixo maior é 2a = 2, do eixo menor é 2b = 1, e a distância focal (entre os focos) é 2c = raiz3.

Passo 7

Para esboçar a elipse, trace o retângulo auxiliar com vértices em l(pmtfrac12,pm1r) e desenhe arcos suaves que toquem esses pontos, obtendo uma curva simétrica em torno dos eixos.

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices: (0,pm1)
Co-vértices: l(pmtfrac12,0r)
Focos: l(0,pmtfracraiz32r)
Semieixo maior: a=1
Semieixo menor: b=tfrac12
Comprimento do eixo maior: 2
Comprimento do eixo menor: 1
Distância focal: raiz3
Excentricidade: tfracraiz32

Exercícios relacionados